東南大學數值分析偏微分方程數值解法

1、東南大學《數值分析》上機練習——算法與程序設計實驗報告第七章第七章偏微分方程數值解法偏微分方程數值解法——CrankNicolson格式格式（學號）（姓名）上機題目要求見教材P34610題。一、算法原理一、算法原理本文研究下列定解問題(拋物型方程)(1)22()(00)(0)()(0)(0)()(1)()(0)uuafxtxltTtxuxxxluttutttT???????????????????????????的有限差分法，其中為正常

2、數，為已知函數，且滿足邊界條件和初af???始條件。關于式(1)的求解，采用離散化方法，剖分網格，構造差分格式。其中，網格剖分是將區(qū)域用兩簇平行直線??00DxltT?????(0)(0)ikxxihiMttkkN????????????分割成矩形網格，其中分別為空間步長和時間步長。將式(1)中的lThMN???偏導數使用不同的差商代替，將得到不同的差分格式，如古典顯格式、古典隱格式、CrankNicolson格式等。其中，CrankN

3、icolson格式具有更高的收斂階數，應用更廣泛，故本文采用CrankNicolson格式求解拋物型方程。CrankNicolson格式推導：格式推導：在節(jié)點處考慮式(1)，有()2ikxt??(2)22()()()222ikikikuuxtaxtfxttx????????????對偏導數用中心差分展開()2ikuxtt????(3)??2311131()()()()()224kkikikikiikikuuxtuxtuxtxtttt??

4、???????????????將在節(jié)點和表示為22()2ikuxtx????()ikxt1()ikxt?東南大學《數值分析》上機練習——算法與程序設計實驗報告二、計算代碼二、計算代碼Crank_Nicolson格式完整代碼functionU=Crank_Nicolson(fax0xndxt0tmdtgs0sn)%采用Crank_Nicolson格式求解拋物線型偏微分方程%dudtad2udx2=f(xt)%Inputf拋物方程右端函數%

5、a為二階導系數%x0xn空間域端點%t0tm時間域端點%dx為空間步長，dt為時間步長%g為初始條件函數%s0sn為邊界條件函數%OutputU輸出橫坐標為空間，縱坐標為時間M=(tmt0)dtN=(xnx0)dx%網格數x=x0dx:dx:xndxt=t0:dt:tmu=feval(gx)u=ur=adtdxdx%步長比%CrankNicolson格式：Au_(k1)=Bu_kCA=r2[zeros(1N1)eye(N2N2)zero

6、s(N21)]r2...[zeros(N21)eye(N2N2)zeros(1N1)](1r)eye(N1N1)A=inv(A)B=r2[zeros(1N1)eye(N2N2)zeros(N21)]r2...[zeros(N21)eye(N2N2)zeros(1N1)](1r)eye(N1N1)U=[]fk=1:MC=dtfeval(fxt(k)0.5dt)C=CC(1)=C(1)r2(feval(s0t(k))feval(s0t(k1