高中數(shù)學(xué)用空間向量解立體幾何問題方法歸納

1、第1頁共21頁用空間向量解立體幾何題型與方法平行垂直問題基礎(chǔ)知識直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(1)線面平行：l∥α?a⊥u?au＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0(2)線面垂直：l⊥α?a∥u?a＝ku?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝kv?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直：α⊥β?u⊥

2、v?uv＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0例1、如圖所示，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求證：EF∥平面PAB；(2)求證：平面PAD⊥平面PDC.[證明]以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(000)，B(100)，C(120)，D(020)，P(001)，所以E，(12，1，12)F，＝，

3、＝(10，－1)，＝(02，－1)，＝(0，1，12)EF????(－12，0，0)PB????PD????AP????(001)，＝(020)，＝(100)，＝(100)AD????DC????AB????(1)因為＝－，所以∥，即EF∥AB.EF????12AB????EF????AB????又AB?平面PAB，EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因為＝(001)(100)＝0，＝(020)(100)＝0，AP????DC

4、????AD????DC????所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.AP????DC????AD????DC????又AP∩AD＝A，AP?平面PAD，AD?平面PAD，所以DC⊥平面PAD.因為DC?平第3頁共21頁(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量a，設(shè)線面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.|na||n||a|(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的兩個半平面α與β的法向量n1，n2

5、，若二面角α－l－β所成的角θ為銳角，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝；|n1n2||n1||n2|若二面角α－l－β所成的角θ為鈍角，則cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－.|n1n2||n1||n2|例1、如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值[解](1)以A為坐標(biāo)原點，

6、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(000)，B(200)，C(020)，D(110)，A1(0，04)，C1(024)，所以＝(20，－4)，＝1AB?????1CD?????(1，－1，－4)因為cos〈，〉＝＝＝，1AB?????1CD?????||||18201831010所以異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為.31010(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1＝(x，y，z)，因為＝(110)，＝(024)，所以n1AD