用賦值法求解函數(shù)關(guān)系

1、用賦值法求解函數(shù)關(guān)系用賦值法求解函數(shù)關(guān)系依據(jù)函數(shù)y=f(x)的限定條件和關(guān)系式求函數(shù)關(guān)系y=f(x)一、賦值代換一、賦值代換例1已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且f(x)不恒為零，對任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]求證：f(x)是偶函數(shù)分析分析：若有f(－x)=f(x)(x∈R)，則f(x)為偶函數(shù)觀察條件f(x1＋x2)＋f(x1－x2)=2[f(x1)＋f(x2)]令x1=0，

2、x2=x則f(x)＋f(－x)=2[f(0)＋f(x)]令x2=0，則f(x1)＋f(x1)=2[f(x1)＋f(0)]∴f(0)=0把f(0)=0代入(＊)有f(x)=f(－x)問題得證賦值代換應(yīng)注意：(1)所賦自變量x之特殊值必須在函數(shù)的定義域內(nèi)；(2)應(yīng)觀察函數(shù)式的特點，確定賦什么值例2設(shè)f(x)是(0，1)上的實函數(shù)，如果滿足：1)對于任意x∈(0，1)，f(x)＞0；分析分析：∵x，y∈(0，1)，(1－x)，(1－y)∈(0

3、，1)由題設(shè)知f(y)＞0，f(1－y)＞0，故有f(x)f(1－y)＋f(y)f(1－x)≤2f(y)f(1－y)，觀察此不等式，如令x=1－y∈(0，1)，則有：f2(x)－2f(x)f(1－x)＋f2(1－x)≤0例5已知f：[0，1]→且f(1)=a，x1、x2∈[0，1]，x1＋x2≤1時，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)，求f(x)的最大值分析分析：對于求函數(shù)的最值，往往要討論其單調(diào)性x1、x2∈[0，1]，不妨設(shè)x

4、1＜x2，令x2=x1＋h，h∈(0，1)，f(h)≥0，則f(x2)=f(x1＋h)≥f(x1)＋f(h)≥f(x1)故f(x)是[0，1]上的不減函數(shù)，由f(x)≤f(1)知f(x)的最大值為a賦值討論應(yīng)注意：所賦值需要有明確的大小關(guān)系，繼而比較函數(shù)值的關(guān)系或確定函數(shù)值例6函數(shù)f(n)對于所有的自然數(shù)n取自然數(shù)，并且(1)f(mn)＝f(m)f(n)，(2)當(dāng)m＞n分析分析：由(1)令m=n=1時，f(1)=f2(1)，則f(1)=

5、1，(f(1)取自然數(shù))當(dāng)k∈N時，f(2k)=f(2)f(2k1)=f2(2)f(2k－2)=…=fk(2)由(3)f(2k)=2k由(2)2k=f(2k)＜f(2k1)＜f(2k2)＜…＜f(2k1)=2k1，即f(2k＋1)、f(2k＋2)…f(2k1－1)是區(qū)間(2k，2k1)上的2k－1個不同的自然數(shù)，而區(qū)間(2k，2k1)上恰好有2k－1個不同自然數(shù)，即2k＋1，2k＋2，…2k1－1因此f(2k＋1)=2k＋1，f(2k＋