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文檔簡介
1、第一章向量代數(shù)習(xí)題1.11.試證向量加法的結(jié)合律，即對任意向量成立abc()().abcabc?????證明：作向量（如下圖），????????????ABaBCbCDc???ABCDabcab?bc?則()()????????????????????????abcABBCCDACCDAD????????()()????????????????????????abcABBCCDABBDAD????????故()().abcabc????
2、?2.設(shè)兩兩不共線，試證順次將它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個三角形的充要條件abc是0.abc???證明：必要性，設(shè)的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連而成一個三角形，abcABC?ABCabc則0.????????????????????????abcABBCCAACCAAA?????????充分性，作向量，由于????????????ABaBCbCDc???所以點(diǎn)與重合，即三向量0????????????????????????abcABBCCDACCD
3、AD?????????AD的終點(diǎn)與始點(diǎn)相連構(gòu)成一個三角形。abc故梯形兩腰中點(diǎn)連線平行于上、下底且等于它們長度和的一半。5.試證命題1.1.2。證明：必要性，設(shè)共面，如果其中有兩個是共線的，比如是，則線性abcabab相關(guān)，從而線性相關(guān)。現(xiàn)在設(shè)兩兩不共線，則向量可以在兩個向量上abcabccab的進(jìn)行分解，即作以為對角線，鄰邊平行于的平行四邊形，則存在實(shí)數(shù)使得cab??，因而線性相關(guān)。cab????abc充分性，設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為
4、零的數(shù)，使得abc123kkk。不妨設(shè)，則向量可以表示為向量的線性組合，因此由1230kakbkc???30k?cab向量加法的平行四邊形法則知道向量平行于由向量決定的平面，故共面。cababc6.設(shè)是不共線的三點(diǎn)，它們決定一平面，則點(diǎn)在上的充要條件是存在ABC?P?唯一的數(shù)組使得()???()1????????????????OPOAOBOC?????????????????其中，是任意一點(diǎn)。在內(nèi)的充要條件是()與同時成立。OPABC
5、?000??????證明：必要性，作如下示意圖，連接并延長交直線于。APBCRABCP則由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且BRC12kk12kOBkOC??????????????。由三點(diǎn)共線，存在唯一的數(shù)組使得，并且121kk??APR12ll12OPlOAl??????????????。于是，設(shè)121ll??1212122OPlOAllOAlkOBlkOC?????????????????????????????由，的唯一性知道的
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