第二講 導(dǎo)熱微分方程

1、第二章 導(dǎo)熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,§2-1 導(dǎo)熱基本定律,,一、溫度場（Temperature field） 某時刻空間所有各點溫度分布的總稱 溫度場是時間和空間的函數(shù)，即：,穩(wěn)態(tài)溫度場(Steady-state conduction）,非穩(wěn)態(tài)溫度場（Transient conduction）,等溫面與等溫線,(1) 溫度不同的等溫面或等溫線彼此不能相交,● 等溫面：同一時刻、溫度場中所有溫度相同的點連接起

2、來 所構(gòu)成的面,● 等溫線：用一個平面與各等溫面相交，在這個平面上得到 一個等溫線簇,等溫面與等溫線的特點：,(2) 在連續(xù)的溫度場中，等溫面或等溫線不會中斷，它們或 者是物體中完全封閉的曲面（曲線），或者就終止與物 體的邊界上,物體的溫度場通常用等溫面或等溫線表示,,等溫面上沒有溫差，不會有熱量傳遞,溫度梯度 (Temp

3、erature gradient ）,不同的等溫面之間，有溫差，有熱量傳遞,溫度梯度：沿等溫面法線方向上的溫度增量與法向 距離比值的極限，gradt,直角坐標(biāo)系：（Cartesian coordinates）,,注：溫度梯度是向量；正向朝著溫度增加的方向,熱流密度矢量,熱流密度：單位時間、單位面積上所傳遞的熱量；,直角坐標(biāo)系中：,熱流密度矢量：等溫面上某點，以通過該點處最大熱流密度的

4、 方向為方向、數(shù)值上正好等于沿該方向的熱 流密度,不同方向上的熱流密度的大小不同,（Heat flux）,二、導(dǎo)熱基本定律(Fourier’s law）,1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉（Fourier）在實驗研究基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)熱基本規(guī)律 —— 傅里葉定律,導(dǎo)熱基本定律：垂直導(dǎo)過等溫面的熱流密度，正比于該處的溫度梯度，方向

5、與溫度梯度相反,熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）,直角坐標(biāo)系中：,注：傅里葉定律只適用于各向同性材料 各向同性材料：熱導(dǎo)率在各個方向是相同的,（Thermal conductivity）,有些天然和人造材料，如：石英、木材、疊層塑料板、疊層金屬板，其導(dǎo)熱系數(shù)隨方向而變化 —— 各向異性材料,各向異性材料中：,三、熱導(dǎo)率（ Thermal conductivity ）,熱導(dǎo)率的數(shù)值：就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過

6、 單位面積的導(dǎo)熱量,— 物質(zhì)的重要熱物性參數(shù),影響熱導(dǎo)率的因素：物質(zhì)的種類、材料成分、溫度、濕度、 壓力、密度等,熱導(dǎo)率的數(shù)值表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小。實驗測定,不同物質(zhì)熱導(dǎo)率的差異：構(gòu)造差別、導(dǎo)熱機(jī)理不同,1、氣體的熱導(dǎo)率,氣體的導(dǎo)熱：由于分子的熱運(yùn)動和相互碰撞時發(fā)生的能量傳遞,氣體分子運(yùn)動理論：常溫常壓下氣體熱導(dǎo)率可表示為：,除非壓

7、力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范圍內(nèi)，氣體的熱導(dǎo)率基本不隨壓力變化,：氣體分子運(yùn)動的均方根速度,氣體的溫度升高時：氣體分子運(yùn)動速度和定容比熱隨T升高而增大。 氣體的熱導(dǎo)率隨溫度升高而增大,：氣體分子在兩次碰撞間平均自由行程,：氣體的密度；,：氣體的定容比熱,,氣體的壓力升高時：氣體的密度增大、平均自由行程減小、而兩者的乘積保持不變。,混合氣體熱導(dǎo)率不能用部分求和的方法求；只能靠實驗測定,分子質(zhì)量

8、小的氣體（H2、He）熱導(dǎo)率較大 — 分子運(yùn)動速度高,2、液體的熱導(dǎo)率,液體的導(dǎo)熱：主要依靠晶格的振動,晶格：理想的晶體中分子在無限大空間里排列成周期性點 陣，即所謂晶格,大多數(shù)液體（分子量M不變）：,水和甘油等強(qiáng)締合液體，分子量變化，并隨溫度而變化。在不同溫度下，熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不一樣,液體的熱導(dǎo)率隨壓力p的升高而增大,3、固體的熱導(dǎo)率,純金屬的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動

9、 主要依靠前者,金屬導(dǎo)熱與導(dǎo)電機(jī)理一致；良導(dǎo)電體為良導(dǎo)熱體：,(1) 金屬的熱導(dǎo)率：,— 晶格振動的加強(qiáng)干擾自由電子運(yùn)動,合金：金屬中摻入任何雜質(zhì)將破壞晶格的完整性，干擾自由電子的運(yùn)動,金屬的加工過程也會造成晶格的缺陷,合金的導(dǎo)熱：依靠自由電子的遷移和晶格的振動； 主要依靠后者,溫度升高、晶格振動加強(qiáng)、導(dǎo)熱增強(qiáng),,如常溫下：,黃銅：70%Cu, 30%Z

10、n,非金屬的導(dǎo)熱：依靠晶格的振動傳遞熱量；比較小,建筑隔熱保溫材料：,(2) 非金屬的熱導(dǎo)率：,大多數(shù)建筑材料和絕熱材料具有多孔或纖維結(jié)構(gòu),多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān),保溫材料：國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350度時熱導(dǎo)率小于 0.12W/(mK) 的材料（絕熱材料）,§2-2 導(dǎo)熱微分方程式（Heat Diffusion Equation）,確定導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布是導(dǎo)熱理論的首要任務(wù),傅

11、里葉定律：,確定熱流密度的大小，應(yīng)知道物體內(nèi)的溫度場:,理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + 熱力學(xué)第一定律,假設(shè)：(1) 所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質(zhì) (2) 熱導(dǎo)率、比熱容和密度均為已知 (3) 物體內(nèi)具有內(nèi)熱源；強(qiáng)度 qv [W/m3]; 內(nèi)熱源均勻分布；qv 表示單位體積的導(dǎo)熱 體在單位時間內(nèi)放出的熱量,化學(xué)反應(yīng)熔化

12、過程,一、導(dǎo)熱微分方程式,在導(dǎo)熱體中取一微元體,熱力學(xué)第一定律：,d? 時間內(nèi)微元體中：,[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]+ [內(nèi)熱源發(fā)熱量]= [熱力學(xué)能的增加],1、導(dǎo)入與導(dǎo)出微元體的凈熱量,d? 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x 表面導(dǎo)入的熱量：,d? 時間內(nèi)、沿 x 軸方向、經(jīng) x+dx 表面導(dǎo)出的熱量：,d? 時間內(nèi)、沿 x 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：,,d? 時間內(nèi)、沿 z 軸方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：,d? 時間內(nèi)、沿 y 軸

13、方向?qū)肱c導(dǎo)出微元體凈熱量：,[導(dǎo)入與導(dǎo)出凈熱量]:,傅里葉定律：,2、微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量,d? 時間內(nèi)微元體中內(nèi)熱源的發(fā)熱量：,3、微元體熱力學(xué)能的增量,d? 時間內(nèi)微元體中熱力學(xué)能的增量：,由 [1]+ [2]= [3]：,導(dǎo)熱微分方程式、導(dǎo)熱過程的能量方程,1、若物性參數(shù) ?、c 和 ? 均為常數(shù)：,熱擴(kuò)散率 反映了導(dǎo)熱過程中材料的導(dǎo)熱能力（ ? ）與沿途物質(zhì)儲熱能力（ ? c ）之間的關(guān)系,值大，即 ? 值大或 ?

14、c 值小，說明物體的某一部分一旦獲得熱量，該熱量能在整個物體中很快擴(kuò)散,熱擴(kuò)散率表征物體被加熱或冷卻時，物體內(nèi)各部分溫度趨向于均勻一致的能力,（Thermal diffusivity）,二、導(dǎo)熱微分方程的分析,在同樣加熱條件下，物體的熱擴(kuò)散率越大，物體內(nèi)部各處的溫度差別越小。,a反應(yīng)導(dǎo)熱過程動態(tài)特性，研究不穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱重要物理量,2、若物性參數(shù)為常數(shù)且無內(nèi)熱源：,3、若物性參數(shù)為常數(shù)、無內(nèi)熱源穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：,圓柱坐標(biāo)系（r, ?, z）,

15、球坐標(biāo)系（r, ?，?）,導(dǎo)熱微分方程式的不適應(yīng)范圍: 非傅里葉導(dǎo)熱過程,極短時間(如10)產(chǎn)生極大的熱流密度的熱量傳遞現(xiàn)象， 如激光加工過程。極低溫度(接近于0 K)時的導(dǎo)熱問題。,導(dǎo)熱過程的單值性條件,導(dǎo)熱微分方程式的理論基礎(chǔ)：傅里葉定律 + 熱力學(xué)第一定律,它描寫物體的溫度隨時間和空間變化的關(guān)系；它沒有涉及具體、特定的導(dǎo)熱過程。通用表達(dá)式。,對特定的導(dǎo)熱過程：需要得到滿足該過程的補(bǔ)充

16、 說明條件的唯一解,單值性條件：確定唯一解的附加補(bǔ)充說明條件,單值性條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界,完整數(shù)學(xué)描述：導(dǎo)熱微分方程 + 單值性條件,1、幾何條件,如：平壁或圓筒壁；厚度、直徑等,說明導(dǎo)熱體的幾何形狀和大小,2、物理條件,如：物性參數(shù) ?、c 和 ? 的數(shù)值，是否隨溫度變化；有無內(nèi)熱源、大小和分布；是否各向同性,說明導(dǎo)熱體的物理特征,3、時間條件,穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程不需要時間條件 — 與時間無關(guān),說明

17、在時間上導(dǎo)熱過程進(jìn)行的特點,對非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程應(yīng)給出過程開始時刻導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分布,時間條件又稱為初始條件,（Initial conditions）,４、邊界條件,說明導(dǎo)熱體邊界上過程進(jìn)行的特點反映過程與周圍環(huán)境相互作用的條件,（１）第一類邊界條件,s — 邊界面; tw = f (x,y,z) — 邊界面上的溫度,已知任一瞬間導(dǎo)熱體邊界上溫度值：,穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： tw = const,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱： tw = f (?),例：,（Bo

18、undary conditions）,（2）第二類邊界條件,根據(jù)傅里葉定律：,已知物體邊界上熱流密度的分布及變化規(guī)律：,第二類邊界條件相當(dāng)于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值,穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：,特例：絕熱邊界面：,（3）第三類邊界條件,傅里葉定律：,當(dāng)物體壁面與流體相接觸進(jìn)行對流換熱時，已知任一時刻邊界面周圍流體的溫度和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù),導(dǎo)熱微分方程式的求解方法,導(dǎo)熱微分方程＋單值性條件＋求解方法 ?溫度場,積分法、杜哈美爾法