chap 7 數學物理定解問題20140925

1、數學物理方法48學時,李清旭 數理學院2014.09liqx@cqupt.edu.cn, 2523,課程概況,上課時間、地點 (周四 9-11節(jié)、4215) 教材 數學物理方法，梁昆淼等，高等教育出版社。 參考書 1. 數學物理方法, 姚端正, 武漢大學出版社。 2. 數學物理方法, 吳崇試, 北京大學出版社。最終成績 = 平時成績(30%) + 期末考試成績(70%),slxy.cqupt.ed

2、u.cn,師資隊伍,教師名錄,應用物理教學部,李清旭,教師資料下載,QQ: 45304241,3,課程內容,數學物理方程及其傅里葉解積分變換方法常微分方程的冪級數解球函數和柱函數,5,第七章 數學物理定解問題,6,數學物理方程的研究范圍十分廣泛，本課程主要講述線性偏微分方程，尤其是二階線性偏微分方程的相關內容。 這些方程是從各種物理問題中歸納總結出來的。常見的二階線性偏微分方程有如下三類：,機械波的波動方程

3、,根據牛頓定律可以證明，機械波的波函數應滿足如下波動方程：,（一維波動方程）,8,靜電勢的 Laplace 方程和 Poisson 方程,由靜電場的性質：,或者:,在沒有電荷的區(qū)域，靜電勢滿足Laplace方程：,在有電荷分布的區(qū)域，靜電勢滿足 Poisson 方程：,（靜電場方程）,穩(wěn)定問題: 與時間無關.,9,量子力學中的 Schrödinger 方程,如果勢能函數不顯含時間，則上述方程可簡化為：,含時 Schr

4、6;dinger 方程,定態(tài) Schrödinger 方程,10,11,12,微分方程中的疊加原理實際上是物理規(guī)律中的疊加原理的反映。我們知道幾個物理量同時存在時的效果常常等價于各個物理量單獨存在時效果的疊加。疊加原理又稱為獨立作用原理。疊加原理是線性問題和非線性問題最本質的區(qū)別。在非線性的情況下，疊加原理不成立。,13,弦的橫振動方程,考察長為 l ，兩端固定、水平拉緊的均勻柔軟而有彈性的弦．當它在平衡位置附近作垂直于弦的微

5、小橫振動時，求弦上各質點的運動規(guī)律。,14,根據牛頓第二定律，u 方向運動可以描述為：,由于弦作微小橫振動，從而有：,由,得到,15,弦的自由振動：f = 0,弦的受迫振動：f ≠ 0,,波速,上述弦振動方程的推導過程表明，該方程反映弦振動這一類物理問題所遵循的物理規(guī)律。該方程不涉及體系和外界的邊界，也不涉及體系的歷史狀況，從而并沒有確定一個確定的物理體系或者物理過程；通常稱該方程為泛定方程。從數學的角度來說，僅僅振動方

6、程并不能確個確定的振動函數。,17,邊界條件與初始條件,由物理學規(guī)律出發(fā)得到的數學物理方程是某一類（或幾類）物理現象所必需遵循的，并不能唯一地、確定地描寫某一個具體的物理過程。例如從Newton第二定律得到的動力學方程并不能唯一地確定質點的運動；完全確定質點的運動還需要有初始條件。 一般地，要完全描寫一個具有確定解的物理問題，在數學上就是要構成一個定解問題。除了微分方程之外，構成定解問題還必須有邊界條件和初始條件

7、。邊界條件用于確定體系和外界的相互作用；初始條件用于確定體系的歷史狀況。,18,初始條件,初始條件用于確定體系的歷史狀況，當所考察的物理現象隨時間變化時，需要確定體系的初始條件來唯一確定地描述該現象。（穩(wěn)定問題不需要初始條件）,對于傳導或擴散過程，需要確定體系的初始狀態(tài)：,對于振動過程，初始條件還需要包含速度的信息：,19,邊界條件,體系的邊界會影響體系的物理狀態(tài), 體系的邊界情況由邊界條件確定.邊界條件反應體系和外界的界面上的情

8、況.,常見的邊界條件可以分為三類,第一類邊界條件,第二類邊界條件,第三類邊界條件,20,第一類邊界條件(Dirichlet條件),21,第二類邊界條件(Neumann條件),22,第三類邊界條件(混合邊界條件),第三類邊界條件給出未知函數和在邊界上的法線方向的導數的線性組合在邊界上的取值，即,如桿的縱振動問題,若一端與一個一端固定的彈簧相連,則相應的邊界條件為,,23,第一、二、三類邊界條件可以統(tǒng)一地寫成,,24,定解問題的分類,

9、數學物理方程（泛定方程）加上相應的定解條件一起構成了定解問題。根據定解條件的不同，又可以把定解問題分為三類：初值問題：定解條件僅有初值條件；邊值問題：定解條件僅有邊值條件；混合問題：定界條件有初值條件也有邊值條件。,25,定解問題的適定性,定解問題解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性，統(tǒng)稱為定解問題的適定性。,存在性：定解問題是否有解.唯一性：定解問題的解是否唯一.穩(wěn)定性：定解問題的解是否穩(wěn)定.,只要對實際物理問題的抽象是合

10、理的，初始條件完全、確定地描寫了初始時刻體系內部和邊界上的狀況；邊界條件完全而確定地描寫了邊界上的狀況; 構成的定解問題就一定是適定的，解一定存在且唯一和穩(wěn)定。,26,1.行波法2.分離變量法3.冪級數解法4.格林函數法 5.積分變換法6.保角變換法 7.變分法8.計算機仿真解法9.數值解法,數學物理方程的常用解法,,在求解常微分方程時，通常的做法是先求出方程的通解，然后利用給定條件確定通解中的積分常數。對于如上定解問題