四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、考試內(nèi)容,（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（均值）,設(shè)X的分布律為,(級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂),則,2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x),則,（ 絕對(duì)收斂）,3.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,（1）X為隨機(jī)變量，y=g(x)為實(shí)變量x的函數(shù).,離散型：,連續(xù)型：,(2)(X,Y)為二維隨機(jī)變量, z=g(x,y)為x,y的二元函數(shù).,離散型：,連續(xù)型：

2、,4.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1) E(C)=C;(2) E(aX+b)= aE(X)+b;(3) E(X1+ X2+‥+Xn)=E(X1)+ E(X2)+‥+E(Xn);(4) 若X1, X2,‥,Xn相互獨(dú)立,則 E(X1 X2‥Xn)=E(X1) E(X2)‥E(Xn);(5),（二）方差,1.定義 D(X)=E{[X-E(X)]2},均方差或標(biāo)準(zhǔn)差：,2.計(jì)算,(1) 離散型：,(2)連續(xù)型：,(3)

3、 常用計(jì)算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).,3. 方差的性質(zhì),(1) D(X)=E(X2)-E2(X)， E2(X)=D(X)+E(X2)(2) D(C)=0;(3) E(aX+b)= a2D(X);(4) D(X±Y)=D(X)+ D(Y) ±2Cov(X,Y);若X, Y相互獨(dú)立,則 D(X±Y)=D(X) +D(Y).(5) D(X)=0

4、P(X=C)=1.,,（三）協(xié)方差、協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù),Cov(X,Y)= E{[X-E(X)] [Y-E(Y)]},1.協(xié)方差,2.相關(guān)系數(shù),用來(lái)表征隨機(jī)變量X,Y之間線性關(guān)系的緊密程度.當(dāng) 較大時(shí)，說(shuō)明X,Y 線性關(guān)系程度較強(qiáng)；當(dāng) 較小時(shí)，說(shuō)明X,Y 線性關(guān)系程度較弱；當(dāng) 時(shí)，稱X與Y不相關(guān)（線性）.,3.協(xié)方差矩陣,設(shè)(X1, X2,‥,Xn)是n維隨機(jī)變量,若,cij=Cov(

5、Xi,Yj),,存在，則稱矩陣,為n維隨機(jī)變量(X1, X2,‥,Xn)的協(xié)方差矩陣.,4.協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),Cov(X,X)=D(X); (2) Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y);(3)Cov(X,Y)= Cov(Y,X）;(4)Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y)+ Cov(X2,Y);(5)Cov(aX+c,bY+d)= abCov(X,Y);(6) (7)

6、 X與Y以概率1線性相關(guān),即存在a,b,,且a≠0,使,(8),（四）矩與混合矩,1.隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩：,隨機(jī)變量X的k階中心矩：,2. 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,X和Y 的k+l 階混合原點(diǎn)矩為：,X和Y 的k+l 階混合中心矩為：,數(shù)學(xué)期望是一階原點(diǎn)矩；方差是二階中心矩，協(xié)方差是1+1階混合中心矩.,（五）常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差,（六）重要結(jié)論,5個(gè)等價(jià)條件：,注意：X,Y相互獨(dú)立為上述5個(gè)條件中任何一個(gè)成立

7、的充分條件，但非必要條件.,考點(diǎn)與例題分析,考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,考點(diǎn)二：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差,考點(diǎn)三：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，獨(dú)立性與相關(guān)性,考點(diǎn)一：數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算,1.對(duì)分布已知的情形，按定義求；2.對(duì)由隨機(jī)試驗(yàn)給出的隨機(jī)變量，先求出分布，再按定義計(jì)算；3.利用期望、方差的性質(zhì)以及常見(jiàn)分布的期望和方差計(jì)算；4.對(duì)較復(fù)雜的隨機(jī)變量,將其分解為簡(jiǎn)單隨機(jī)變量,特別是分解為(0,1)分布的隨機(jī)變量和進(jìn)行計(jì)算.,例

8、1 一臺(tái)設(shè)備由三大部件構(gòu)成,在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)試整的概率相應(yīng)為0.1,0.2,0.3,假設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立,以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù),試求X的E(X)和D(X).,解法1 先求出分布律：,設(shè)事件Ak={第k個(gè)部件要調(diào)整} （k=1,2,3),則,即X具有的分布律為：,從而有E(X)=0.6，D(X)= E(X2)- E2(X)=0.46.,解法2 用分解法：引進(jìn)隨機(jī)變量,X~0-1分布，,且X=X1+X2+X3

9、， E(X)=E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.6 D(X)=D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.46,注:1.將一個(gè)“復(fù)雜”的隨機(jī)變量分解成若干個(gè)“簡(jiǎn)單”的隨機(jī)變量之和 是研究隨機(jī)變量的一種基本方法，但必須注意：求方差時(shí)，應(yīng)先判斷Xi 是否相互獨(dú)立.若獨(dú)立,則D(X)易求(和),否則不易求出.,2. 求離散型隨機(jī)變量

10、的期望和方差時(shí),會(huì)用到無(wú)窮級(jí)數(shù)求和，如下例:,例2 對(duì)某目標(biāo)連續(xù)射擊,直到命中n次為止,設(shè)每次射擊的命中率為p，求消耗子彈的數(shù)學(xué)期望.,解 設(shè)Xi表示第i-1次命中至第i 次命中之間所消耗的子彈數(shù)(含第i次命中不含第i-1次命中),則,于是有,故,,,例3 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度,求數(shù)學(xué)期望和方差.,解,注：若已知分布函數(shù)，則需先求出密度函數(shù).,例4 設(shè)X的密度函數(shù),則E(X)_______, D(X)_________.,考

11、點(diǎn)二：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差,1.先求概率密度或分布函數(shù),再按期望定義計(jì)算,如,2.直接利用函數(shù)期望的公式計(jì)算：,3.利用數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)以及常見(jiàn)分布的數(shù)學(xué)期望與方差計(jì)算.,例5 設(shè)X~E(1),則數(shù)學(xué)期望,解 先利用期望的線性性質(zhì)，再用隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式求得.,因X~E(1),于是E(X)=1,而且X的密度函數(shù)為,指數(shù)分布,例6 設(shè)X的密度函數(shù),求,解 直接利用函數(shù)期望的公式計(jì)算,注：在求多個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期

12、望時(shí),若直接用公式計(jì)算,則需求多重積分.故不如先求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布,再用定義計(jì)算期望,例如,,設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, … Xn獨(dú)立同分布,其密度函數(shù),試求 的數(shù)學(xué)期望和方差.,為常數(shù),（自行完成）,例7 設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布,的隨機(jī)變量，則,解 令Z=X-Y，則E(Z)=0, D(Z)=1,即,故積分，得,注：利用正態(tài)分布的性質(zhì)、隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式,例8 一工

13、廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（年）服從指數(shù)分布,概率密度函數(shù)為,規(guī)定出售的設(shè)備若在售出一年內(nèi)損壞可予以調(diào)換,若工廠售出一臺(tái)設(shè)備贏利100元,調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元，試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.,解 設(shè)出售一臺(tái)贏利為Y,則Y的所有可能取值為100,-200.因,分析：先求出贏利的分布.,Y的分布律為,,,Y 100 -200,所以，,注：Y是X的函數(shù).X是連續(xù)型的,而Y是離散型的.,考點(diǎn)三：協(xié)方差、相關(guān)

14、系數(shù)，獨(dú)立性與相關(guān)性,1.協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算實(shí)際上是隨機(jī)變量函數(shù)的期望的計(jì)算，方法見(jiàn)考點(diǎn)二；,X,Y相互獨(dú)立,,若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則,X,Y相互獨(dú)立,,,2.獨(dú)立性與相關(guān)性的關(guān)系,例9 將一枚硬幣重復(fù)擲n次,以X,Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X和Y的相關(guān)系數(shù)為_(kāi)_.,解 因X+Y=n,即Y=n-X.,法1 用定義求：,D(Y)=D(n-X)=D(X),因此，,法2 用性質(zhì)(7)：,因Y=n-X，Y是X的

15、線性函數(shù),且X的系數(shù)為-1<0,故X和Y的相關(guān)系數(shù)為-1.,例10 設(shè) 其中,且,(1)求E(Z), D(Z)；,（2）求X,Z的相關(guān)系數(shù)；,（3） X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？,解（1）由期望和方差的性質(zhì)有,（3）X,Y均服從正態(tài)分布,但不獨(dú)立,故不能認(rèn)為Z服從正態(tài)分布，從而二維隨機(jī)變量(X,Y)不一定服從二維正態(tài)分布,故盡管X與Z不相關(guān), X與Z仍不一定相互獨(dú)立.,（2）,故,注： X與Z 均服

16、從正態(tài)分布，且X與Z 相互獨(dú)立，則(X,Z)服從二維正態(tài)分布.,例11.(08)設(shè)隨機(jī)變量,且 則,考查：相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,存在a,b,使,以及正態(tài)分布數(shù)字特征的性質(zhì).,解 選D. 由正態(tài)分布有 EX=0,DX=1, EY=1,DY=4,,故存在a,b,使,從而EY=aEX+b,得b=1.而,,考研題及練習(xí)題,1. 設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D:0<x<1,-x<y<x內(nèi)服從均勻分布

17、，求Z=2X+1的方差.(兩種方法),答案：E(Z)=2/3,D(Z)=2/9.,2.(08）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布,則P{X=EX2}______.,考查：泊松分布的數(shù)字特征及其概率分布.,參數(shù)為1的泊松分布的EX =DX=1,從而,EX2 =DX+(EX)2=2, P{X=EX2}=P{x=2}=1/2e.,3.(04134) 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,則,4.(041)設(shè)隨機(jī)變量X1, X2, … Xn

18、獨(dú)立同分布,且其方差為 令 則,提示：用方差和協(xié)方差的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可,注意到利用獨(dú)立性有：,5.（0634）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布為,-1 a 0 0.2 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1

19、 c,,,,,Y,X,,-1 0 1,其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望EX=-0.2，,記Z=X+Y，求,（1） a,b,c的值； （2）Z的概率分布；（3）P(X=Z).,答案: (1) a=0.2,b=0.1,c=0.1,(2),,,-2 -1 0 1 2,0.2 0.1 0.3 0.3 0.1,(3) P(X=Z)