《 高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題》解題方法歸納

1、《 高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題》解題方法歸納,數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問(wèn)題或非完全的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。,求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：,實(shí)際問(wèn)題,建立數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)結(jié)果,實(shí)際結(jié)果,就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。,,這一步可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)解決。,就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論。,這一步可以稱(chēng)之為實(shí)際化。,就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論作出回答。,應(yīng)以審題(即明確題

2、意)開(kāi)始，通過(guò)分析和抽象找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合理的數(shù)學(xué)模型。,這一步可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)化。,1. 某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x (0＜x＜1) ，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x．已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)–投入成本）?年銷(xiāo)

3、售量．（Ⅰ）寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增 加的比例x 的關(guān)系式；（Ⅱ）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？,解：（Ⅰ）由題意得，,整理得 ：,（Ⅱ）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，必須,即,解不等式得 ．,答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)滿足 0＜x＜0.33 ．,,2. 某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/k

4、W·h，年用電量為a kW·h.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/ kW·h至0.75元/ kW?h之間， 而用戶期望電價(jià)為0.4元/ kW·h.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）。該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元/ kW·h。 (Ⅰ)寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門(mén)的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(Ⅱ)設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價(jià)

5、最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增 長(zhǎng)20%?（注：收益=實(shí)際用電量?(實(shí)際電價(jià)?成本價(jià))）,解：(Ⅰ) 設(shè)下調(diào)電價(jià)為 x 元／k w?h ,,(Ⅱ) 由題意知,即 x ² －1.1x＋0.3 ≥0,∴ x≤0.5 或 x≥0.6,又 0.55≤ x ≤0.75,∴ 0.6≤x≤0.75,∴當(dāng)電價(jià)最低定為 0.6元／kw·h 時(shí)，仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng) 20 ％ .,,3.

6、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。（Ⅰ）寫(xiě)出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 ;寫(xiě)出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 ；（Ⅱ）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)

7、各種植成本的單位：元/102㎏，時(shí)間單位：天）,y=at＋b則b=300,∵100=200a＋b∴a=－1,解：（Ⅰ）由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為,由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為,（Ⅱ）設(shè)時(shí)刻的純收益為h(t) , 則由題意得,h(t)=f(t) －g(t),即 h(t)=,當(dāng) 0≤t≤200 時(shí)，配方整理得,h(t)=,,∴當(dāng)t=50時(shí)，h(t) 取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；,當(dāng)200＜t≤300 時(shí)，

8、配方整理得,h(t)=,∴當(dāng) t=300時(shí), 取得區(qū)間（200，300］上的最大值87.5,綜上，由100＞87.5 可知，在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時(shí) t=50 ，,即從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大。,,4、我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控手段來(lái)達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市用水收收費(fèi)的方法是： 水費(fèi)=基本費(fèi)+損耗費(fèi)+超額費(fèi)若每月用水量不超過(guò)最低

9、限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶每月的定額損耗費(fèi)c元；若用水量超過(guò)am3時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每m3付b元的超額費(fèi)，已知每戶每月的定額損耗費(fèi)不超過(guò)5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：月 份用水量（m3）水費(fèi)（元）（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求a、b、c；（2）若用戶四月份用水量為30立方米，應(yīng)交水費(fèi)多少元？,月 份123,用水量（m3）91522,水費(fèi)（元）919

10、33,,解：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為y元，則：,由題意知0＜C≤5 ∴8+C≤13,答：a、b、c的值依次為10，2，1；四月份應(yīng)交水費(fèi)49元。,（2）四月份應(yīng)交水費(fèi)為: 8+1+2(30-10)=49 (元),故a=10，b=2，c=1,∴一月份的付款方式應(yīng)選①式，由8+c=9得c=1,不妨設(shè)9＞a，將x=9代入②得 9=8+c+2（9－a）∴2a=c+17 與③矛盾 ∴9≤a,再分析一月份的用水量是否超過(guò)最

11、低限量,∴2a=c+19 ③,由表知第二、三月份的費(fèi)用均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，將x=15，x=22分別代入②，得,,5. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如下圖），由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米。如果池四周?chē)诮ㄔ靻蝺r(jià)為每米長(zhǎng)400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米長(zhǎng)248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)。試設(shè)計(jì)污水池的

12、長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。,解：設(shè)污水池長(zhǎng)為 x ，,則寬為,解之得：12.5≤x≤16,y＝400(x＋ ) ×2＋2×248× ＋80×200,∴總造價(jià)y為,＝800(x＋ ) ＋16000,令u＝x ＋,設(shè),∵,,答：當(dāng)污水長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)； 總造價(jià)最低為45000元.,∴u＝16 時(shí),

13、,6.   一輛新汽車(chē)使用一段時(shí)間后，就值不到原來(lái)的價(jià)錢(qián)了。假若一輛新車(chē)價(jià)值18萬(wàn)元，按下列方式貶值：每年的車(chē)價(jià)是原來(lái)的 。問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)18個(gè)月后，此車(chē)貶值多少？從購(gòu)買(mǎi)日起t個(gè)月后呢？（貶值量Q＝原價(jià)P－汽車(chē)現(xiàn)在價(jià)值W）,解：先建立汽車(chē)的現(xiàn)價(jià)W與使用時(shí)間t（t以月為單位） 的函數(shù)關(guān)系W＝f（t）。,當(dāng)t＝0時(shí)，即剛買(mǎi)來(lái)，顯然f（0）＝180000；,當(dāng)t＝12時(shí)，即買(mǎi)了一年，f（12）＝180000&

14、#215; ＝120000；,當(dāng)買(mǎi)了兩年后，f（24）＝180000× ＝80000；,一般地，f（12×n）＝180000× 。,設(shè)t＝12n，則f（t）＝180000× 。,18個(gè)月后，W＝180000× ＝98000，,Q＝180000－98000＝82000，即貶值了820

15、00元。,從購(gòu)買(mǎi)日起t個(gè)月后，Q＝180000× 。,,7.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部需要增加投入2500元，對(duì)銷(xiāo)售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷(xiāo)售收入的函數(shù)為 H（x）=500x－ x2 其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0≤x≤500 （1）若x為年產(chǎn)量，y表示利潤(rùn)，求y=f(x)

16、的解析式； （2）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值是多少？ （3）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠有盈利（已知： =4.65）,解：（1）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，產(chǎn)品全部售出；當(dāng)x＞500時(shí)，產(chǎn)品只能銷(xiāo)售500部，故利潤(rùn)函數(shù)為：,125000－(5000+25x) (x > 500),（2）當(dāng)0≤x≤500時(shí)， f(x)= －0. 5(x－475)2+107812.5;,當(dāng)x&

17、gt;500時(shí)， f(x)=120000－25x<120000－12500，,即 f(x)<107500,故當(dāng)年產(chǎn)量為475部時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為107812.5元。,解得10＜x≤500 或500＜x＜4800，,∴ 10＜x＜4800.,故當(dāng)年產(chǎn)量在10部到4800部時(shí), 工廠盈利.,,解：（1）若按原來(lái)投資環(huán)境不變，則由,知當(dāng)x=40時(shí)， =10.,即每年只需從60萬(wàn)元專(zhuān)款中拿出

18、40萬(wàn)元投資，可獲最大利潤(rùn)10萬(wàn)元，這10年的總利潤(rùn)的最大值為,8. 某地區(qū)地理位置偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷(xiāo)售，該地區(qū)政府每投資x萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為 萬(wàn)元。為順應(yīng)開(kāi)發(fā)大西北的宏偉決策，擬開(kāi)發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開(kāi)發(fā)前后用于該項(xiàng)目投資的專(zhuān)項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是60萬(wàn)元。若開(kāi)發(fā)該產(chǎn)品，必須在前5年中，每年從60萬(wàn)元專(zhuān)款中拿出30萬(wàn)元投資修

19、通一條公路，且5年可以修通。公路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷(xiāo)售，每投資x萬(wàn)元，可獲利潤(rùn)問(wèn)從十年的總利潤(rùn)來(lái)看，該項(xiàng)目有無(wú)開(kāi)發(fā)價(jià)值？,萬(wàn)元。,（ 2）若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)前5年每年可用于對(duì)該產(chǎn)品的投資只有30萬(wàn)元，,而函數(shù) 在( 0, 30 ］上遞增，,所以當(dāng)x=30時(shí)， = 。,前5年的總利潤(rùn)為

20、 （萬(wàn)元）。,設(shè)在后5年中，x萬(wàn)元用于本地銷(xiāo)售投資，,60-x萬(wàn)元用于異地銷(xiāo)售投資，則總利潤(rùn)為,當(dāng)x=30時(shí)，W2有最大值4500。,∴十年的總利潤(rùn)有最大值： + 4500（萬(wàn)元）。,而 + 4500＞100，,故該項(xiàng)目具有極大的開(kāi)發(fā)價(jià)值。,W=10×10=100（萬(wàn)元）。,,解: 設(shè)日銷(xiāo)售金額為y元, 則y=P·Q，,

21、當(dāng)0＜t＜25 , t∈N 時(shí)，y=－t2+20t+800= －(t－10)2+900,,∴t=10時(shí) ，ymax=900(元),當(dāng)25≤t≤30，t∈N時(shí)，y=t2－140t+4000=(t－70)2－900,,∴t=25時(shí)，ymax=1125（元）,綜上所述，這種商品日銷(xiāo)售額的最大值為1125元。,,10. 市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員對(duì)過(guò)去幾年某商品的價(jià)格及銷(xiāo)售數(shù)量的關(guān)系作數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價(jià)格每上漲x%（x>0)，銷(xiāo)

22、售數(shù)量就減少kx%（其中k為正常數(shù)）。目前，該商品定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷(xiāo)售數(shù)量為b個(gè)。（1）當(dāng) 時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷(xiāo)售總金額達(dá)到最大？（2）    在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過(guò)程中，求使銷(xiāo)售總金額不斷增加時(shí)k的取值范圍。,解：依題意，價(jià)格上漲x%后，銷(xiāo)售總金額為：,（1）取,∴x = 50 即商品價(jià)格上漲50%時(shí)，y最大為,（2）因?yàn)?此二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為

23、：,在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程中，銷(xiāo)售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x在{x|x>0}的一個(gè)子集內(nèi)增大時(shí)，y也增大。,所在 ，,解之 0 < k < 1,,解:（I）依題意，該商品年銷(xiāo)售量為（80 － ）萬(wàn)件，,年銷(xiāo)售收入為60（80 － ）萬(wàn)元，,故所求函數(shù)及其定義域?yàn)椋?由80－ 且P> 0