小學數(shù)學思想方法講座史寧中

1、小學數(shù)學思想方法,講座人：葉寧,目 錄,,,,,,,,,,,,,前 言,,,,,,小學數(shù)學思想方法,小學數(shù)學思想方法梳理,后 記,一、前言,,,,,能力培養(yǎng),數(shù)學思想方法的滲透,社會對數(shù)學價值的要求,教學實踐表明,小學數(shù)學教育的現(xiàn)代化，不是內(nèi)容現(xiàn)代 化，而是數(shù)學思想及教育手段的現(xiàn)代化,加強數(shù)學思想的教學是基礎(chǔ)數(shù)學教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵,,,,數(shù)學教學就是數(shù)學思維活動的教學,數(shù)學教育承載著“發(fā)展兒童的思維”的重任,在教師的

2、指導下,人類的活動離不開思維，思維能力的發(fā)展程度是整個智力發(fā)展的縮影和標志。,,數(shù)學教學實質(zhì)上就是學生在教師指導下，通過數(shù)學思維活動，學習數(shù)學家思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學思維，使學生的數(shù)學思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過程,由于數(shù)學自身的特點,,,基本活動經(jīng)驗,,,基礎(chǔ)知識,,基本技能,基本思想,CEO,數(shù)學教材的兩條主線,,數(shù)學基礎(chǔ)知識是一條明線,數(shù)學思想方法,數(shù)學教材兩條主線,,,,數(shù)學思想方法是一條暗線,二、小學

3、數(shù)學思想方法,數(shù)學 方法,數(shù)學思想方法,小學數(shù)學思想方法,數(shù)學美,三、小學數(shù)學思想方法的梳理,對應(yīng)思想,集合思想,符號化思想,數(shù)形結(jié)合思想,統(tǒng)計思想,極限思想,小學數(shù)學,思想方法,1、對應(yīng)思想方法,一支鉛筆、一本書、一棟房子對應(yīng)一個抽象的數(shù)“1”， 兩只眼睛、一對耳環(huán)、雙胞胎對應(yīng)一個抽象的數(shù)“2”,在“多與少”這一內(nèi)容中，一個茶杯蓋與每一個茶杯對應(yīng),直線上的點（或數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對應(yīng),,,,,,對應(yīng)思想方法

4、,確定位置 （物體與位置對應(yīng)）,面積 （物體面積與單位對應(yīng)）,,,,,假設(shè)思想實際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種,假設(shè)思想是一種常用的推測性的數(shù)學思考方法,假設(shè)思想是小學數(shù)學中比較常用的方法,假設(shè)思想是一種有意義的想象思維,假設(shè)法是通過對數(shù)學問題的一些數(shù)據(jù)做適當?shù)母淖?，然后根?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進行計算和推理，再根據(jù)計算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。,假設(shè)思想,2、假設(shè)思想方法,,,案例,案例,俄國教育

5、家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！?小學生學習數(shù)學知識，也同樣需要通過對數(shù)學材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識間的聯(lián)系和區(qū)別。,3、比較思想方法,案例,角的關(guān)系,分數(shù)的大小,4、符號化思想方法,案例,加法交換律,方程的意義,5、類比思想方法,數(shù)學家波利亞所說：“我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！?。,可以激發(fā)學生的創(chuàng)造力,案例,乘法交換律,三角形的面積,由加法交換律a＋

6、b＝b＋a的學習遷移到乘法交換律a×b=b×a的學習,長方形的面積公式為長×寬＝a×b，通過類比兩個相同的三角形可以拼成一個長方形，因此得到三角形的面積公式為長（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2,圓錐體體積,圓柱體體積公式為底面積×高，那么圓錐體體積可以理解為底面積×高÷3,,,,對問題進行轉(zhuǎn)換時,

7、既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問題的結(jié)論,在解決數(shù)學問題時，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略,,這里的變換是可逆的雙向變換,其本身的大小不變，由一種形式變換成另一種形式的思想方法,6、轉(zhuǎn)化思想方法,轉(zhuǎn)換可以是等價的，也可以是不等價的,案例,分數(shù)與小數(shù)的乘除法,簡便運算,,計算：2.8÷113÷17÷0.7直接計算比較麻煩，而分數(shù)的乘除運算比小數(shù)方便，故可將原問題轉(zhuǎn)換為：這樣利用約分就能很快獲得本題的解,計

8、算：12×25可以通過轉(zhuǎn)化，將12分解成3×4這樣就變成12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=300,,,,,概念,意義,作用,把研究的對象按照一定的標準進行分類并逐類進行討論，再把每一類的結(jié)論綜合，使問題得到解決,不同的分類標準就會有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念,數(shù)學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構(gòu),7、分類思想方法,“分而治之、各個擊

9、破、綜合歸納”,案例,案例,直線、射線與線段,三角形的分類,1. Title,2. Title,3. Title,,,,,,,,,,,集合思想,把若干確定的有區(qū)別的事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，各事物稱為集合的元素.,把一些能夠確定的不同對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合,集合思想是運用集合的概念、邏輯語言、運算、圖形等解決數(shù)學問題或非純數(shù)學問題的思想方法,小學采用直觀手段，利用圖形和實物滲透集合思

10、想,8、集合思想方法,集合思想的特征,集合特征,確定性,互異性,無序性,集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素沒有重復的,集合中的元素沒有固定的順序,給定一個集合，按照明確的判斷標準確定一個元素，或者在這個集合里，或者不在這個集合里，不能模棱兩可,集合是現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ),,,不含任何元素的集合,,含有有限個元素的集合,,含有無窮個元素的集合,集合的分類,空集,有限集,無限集,集合的表現(xiàn)形式,,,集合的 表現(xiàn)形式,把集合中的元素一一列

11、舉出來，寫在大括號內(nèi)，元素之間用逗號分開的方法,用封閉曲線所圍成的圖形（文氏圖）表示集合,把集合中坎的共同特性描述出來，寫在大括號內(nèi),,列舉法,,圖示法,,,描述法,小學里的集合,用封閉曲線圈起來看作一個整體——集合,圈內(nèi)對象——為元素,2 4 6 8 10 12 14 16 20,集合與集合的關(guān)系（包含）集合與集合的交集、集合與集合的并集等運算在小學數(shù)學中應(yīng)用,案例,案例

12、,四邊形之間的關(guān)系,三角形的關(guān)系,,數(shù)形結(jié)合思想,關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化,,,,,,數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想,數(shù)形結(jié)合思想,,9、數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)形結(jié)合思想,Content Title,數(shù)形結(jié)合思想包含兩個方面,往往在研究“數(shù)”的時候借助于“形”,往往在探討“形”的性質(zhì)時又離

13、不開“數(shù)”,幾何直觀的表現(xiàn)形式,,,,,,,,,,,,,幾何圖形線段圖數(shù)軸,方格紙坐標方向標,示意圖列表動畫,表現(xiàn)形式,圖形,圖紙,表格,幾何直觀運用領(lǐng)域,我們不僅在幾何教學中要重視幾何直觀，在整個數(shù)學教學中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學始終。,案例,平移與旋轉(zhuǎn),9的乘法口訣,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,計算公式的推導,案例,

14、把陰影部分分別用分數(shù)和小數(shù)表示。,分數(shù)（ ）小數(shù)（ ）,分數(shù)（ ）小數(shù)（ ）,數(shù)的表示,案例,案例,減法小棒圖,案例,三角形的特性,平均數(shù),案例,位置與方向,千以內(nèi)數(shù)的認識,案例,解決實際問題,,一般不考慮全部數(shù)據(jù),現(xiàn)實生活中大量數(shù)據(jù),進行合理推斷決策,有時調(diào)查全部數(shù)據(jù),統(tǒng)計就是搜集、整理、計算和分析研究對象的數(shù)據(jù)，并作出適當推斷的方法。,統(tǒng) 計,10、統(tǒng)計思想方法,小學學習基本統(tǒng)計法

15、,統(tǒng)計思想的類型,一是統(tǒng)計作為四大領(lǐng)域知識中的一類知識，安排了很多獨立的單元進行統(tǒng)計知識的教學；,在小學數(shù)學中，統(tǒng)計思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：,小學數(shù)學中統(tǒng)計的知識點主要有：,案例,條形統(tǒng)計圖,一年級統(tǒng)計,案例,折線統(tǒng)計圖,平均數(shù),案例,扇形統(tǒng)計圖,復式橫向條形統(tǒng)計圖,11、概率思想方法,,,,事 件,,,,,確定事件,,,,,必然事件不可能事件,,,,,不確定事件,,,,,隨機事件,,,,,,事件,如：拋硬幣是正面可能發(fā)生也可

16、能不發(fā)生,如：每天日出日落必然發(fā)生擲兩枚骰子兩個數(shù)字的和是13不可能發(fā)生,案例,隨機現(xiàn)象,案例,拋硬幣,摸球活動,案例,設(shè)計轉(zhuǎn)盤,游戲規(guī)則,,,12、極限思想方法,,,,,滲透有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系,在小學數(shù)學中滲透著既對立又統(tǒng)一的辯證思維,小學生思維以形象思維為主逐步向邏輯思維過渡,用無限逼近的方式來研究數(shù)量的變化趨勢的思想,案例,劉徽“割圓術(shù)”,莊子,“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！?案例,自然數(shù),“自然數(shù)”

17、“奇數(shù)”“偶數(shù)”,直線、射線與線段,案例,循環(huán)小數(shù),平行與垂直,,13、變中抓不變思想,案例,年齡問題,交換律和結(jié)合律,加法和乘法的交換律，交換加數(shù)（因數(shù)）的位置，它們的和（或積）不變,年齡問題中年齡差不變,兄妹二人同時離家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門時，發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿著原路返回，恰在離校門180米處和妹妹相遇，他們家距離學校有多遠？,,,,,,,,,,兄：,妹：,每分鐘90米,？米,180

18、米,每分鐘60米,,,,校門,案例,兄妹二人走的時間不變,14、可逆思想方法,案例,15、分解思想方法,朝陽小學三年級有4個班，每班50人，四年級有218人，三年級和四年級共有多少人？,200＋218＝418（人）,⑵ 三年級和四年級共有多少人？,50×4＝200（人）,⑴ 三年級有多少人？,答：三年級和四年級共有418人。,綜合算式： 50×4＋218＝418（人）,案例,解答復合應(yīng)用題,16、有序思想方法,

19、,有序思想,,,思維要有序，即要按照一定的順序，有條理地，全面地觀察和思考問題,自然數(shù)列按從小到大的順序排列 數(shù)數(shù)按照從小到大的順序數(shù)或者倒著數(shù),數(shù)列按照一定的規(guī)律排列 大數(shù)可按照一個一個數(shù)、十個十個數(shù)、百個百個數(shù)……,案例,數(shù)長方形,乘法口訣的編制,下圖中共有多少個長方形？,17、函數(shù)思想,案例,函數(shù),面積與體積,用表格表示數(shù)量間的關(guān)系,用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系,正比例和反比例,圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝2

20、πrh,平行四邊形的面積：S=ah,長方形的周長與面積,填表,18、數(shù)學模型思想,案例,數(shù)的運算,面積與體積,a+b=cc-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a,時間、速度和路程s=vt數(shù)量、單價和總價a=np三角形面積;s=1/2ab圓周長：c=2πr長方體體積：v=abc圓錐體積：v=1/3sh,數(shù)學模型的主要模型形式是數(shù)學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很

21、多相同之處，同樣具有普遍的意義。,,把有可能解決的或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類以便解決可較易解決的問題，以求得解決,把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解,化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等,19、化歸思想,1、計算357+137=494（千米) 137+357=494（千米) 得出結(jié)果一樣，也就是: 357+

22、137=137+357 觀察下面兩組算式，看看有什么關(guān)系 18+17O17+18 124+235O 235+124 上面每組算式有什么共同點？可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 得出：任何兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。,案例,認識加法交換律,直角三角形內(nèi)角和為180度銳角三角形的內(nèi)角和為180度鈍角三角形的內(nèi)角和為180度三角形只有三類得出:

23、任何三角形的內(nèi)角和為180度,案例,三角形的內(nèi)角和為180度,案例,異分母分數(shù),分數(shù)加減法：異分母分數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)加減法,梯形面積,梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積,圓錐體的體積,圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積,統(tǒng)計,運用不同的統(tǒng)計圖表描述各種數(shù)據(jù),,,,,20、歸納思想方法,觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 通過

24、觀察算式，能夠發(fā)現(xiàn)這樣一些規(guī)律：所有的算式都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，每個算式的兩個加數(shù)中的一個加數(shù)的個位和十位數(shù)互換，變成另一個加數(shù)的和具有一定的規(guī)律。,案例,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,案例,用計算器計算發(fā)現(xiàn)規(guī)律,案例,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,,,,,推理,演繹推理,合情推理,推理是從一個或幾個已有的判斷得出另一個新判斷的思維形式,歸納推理和類比推理由特殊到一般的推理,由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理,21、推理思想,推理所根據(jù)的判斷叫前提根據(jù)前提所得到的

25、判斷叫結(jié)論,案例,案例,加法法則,三角形的內(nèi)角和,案例,梯形的面積,小數(shù)乘法,案例,分數(shù)基本性質(zhì),分數(shù)除法,數(shù)學思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過短期的訓練便能掌握，數(shù)學思想方法的教學更應(yīng)該是一個通過長期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過程。 在進行小學數(shù)學的教學過程中，應(yīng)該把握“好雨知時節(jié)，當春乃發(fā)生。隨風潛入夜，潤物細無聲…”的思想，希望數(shù)學思想方法的教學能夠象春雨一樣，滋潤著學生的心田。,后記,謝謝批評指正！