小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法講座史寧中

1、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,講座人：葉寧,目 錄,,,,,,,,,,,,,前 言,,,,,,小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法梳理,后 記,一、前言,,,,,能力培養(yǎng),數(shù)學(xué)思想方法的滲透,社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的要求,教學(xué)實(shí)踐表明,小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，不是內(nèi)容現(xiàn)代 化，而是數(shù)學(xué)思想及教育手段的現(xiàn)代化,加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵,,,,數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué),數(shù)學(xué)教育承載著“發(fā)展兒童的思維”的重任,在教師的

2、指導(dǎo)下,人類(lèi)的活動(dòng)離不開(kāi)思維，思維能力的發(fā)展程度是整個(gè)智力發(fā)展的縮影和標(biāo)志。,,數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，通過(guò)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,由于數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn),,,基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),,,基礎(chǔ)知識(shí),,基本技能,基本思想,CEO,數(shù)學(xué)教材的兩條主線(xiàn),,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是一條明線(xiàn),數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)教材兩條主線(xiàn),,,,數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線(xiàn),二、小學(xué)

3、數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué) 方法,數(shù)學(xué)思想方法,小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)美,三、小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理,對(duì)應(yīng)思想,集合思想,符號(hào)化思想,數(shù)形結(jié)合思想,統(tǒng)計(jì)思想,極限思想,小學(xué)數(shù)學(xué),思想方法,1、對(duì)應(yīng)思想方法,一支鉛筆、一本書(shū)、一棟房子對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“1”， 兩只眼睛、一對(duì)耳環(huán)、雙胞胎對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“2”,在“多與少”這一內(nèi)容中，一個(gè)茶杯蓋與每一個(gè)茶杯對(duì)應(yīng),直線(xiàn)上的點(diǎn)（或數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對(duì)應(yīng),,,,,,對(duì)應(yīng)思想方法

4、,確定位置 （物體與位置對(duì)應(yīng)）,面積 （物體面積與單位對(duì)應(yīng)）,,,,,假設(shè)思想實(shí)際上也是轉(zhuǎn)化方法的一種,假設(shè)思想是一種常用的推測(cè)性的數(shù)學(xué)思考方法,假設(shè)思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較常用的方法,假設(shè)思想是一種有意義的想象思維,假設(shè)法是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一些數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)母淖儯缓蟾鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算和推理，再根據(jù)計(jì)算所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的差異進(jìn)行修正和還原，最后使原問(wèn)題得到解決的思想方法。,假設(shè)思想,2、假設(shè)思想方法,,,案例,案例,俄國(guó)教育

5、家烏申斯基說(shuō)過(guò)：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)?！?小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，也同樣需要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)材料的比較，理解新知的本質(zhì)意義，掌握知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別。,3、比較思想方法,案例,角的關(guān)系,分?jǐn)?shù)的大小,4、符號(hào)化思想方法,案例,加法交換律,方程的意義,5、類(lèi)比思想方法,數(shù)學(xué)家波利亞所說(shuō)：“我們應(yīng)該討論一般化和特殊化和類(lèi)比的這些過(guò)程本身，它們是獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉?！薄?可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力,案例,乘法交換律,三角形的面積,由加法交換律a＋

6、b＝b＋a的學(xué)習(xí)遷移到乘法交換律a×b=b×a的學(xué)習(xí),長(zhǎng)方形的面積公式為長(zhǎng)×寬＝a×b，通過(guò)類(lèi)比兩個(gè)相同的三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，因此得到三角形的面積公式為長(zhǎng)（底）×寬（高）÷2＝a×b（h）÷2,圓錐體體積,圓柱體體積公式為底面積×高，那么圓錐體體積可以理解為底面積×高÷3,,,,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí),

7、既可轉(zhuǎn)換已知條件,也可轉(zhuǎn)換問(wèn)題的結(jié)論,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，轉(zhuǎn)換是一種非常有用的策略,,這里的變換是可逆的雙向變換,其本身的大小不變，由一種形式變換成另一種形式的思想方法,6、轉(zhuǎn)化思想方法,轉(zhuǎn)換可以是等價(jià)的，也可以是不等價(jià)的,案例,分?jǐn)?shù)與小數(shù)的乘除法,簡(jiǎn)便運(yùn)算,,計(jì)算：2.8÷113÷17÷0.7直接計(jì)算比較麻煩，而分?jǐn)?shù)的乘除運(yùn)算比小數(shù)方便，故可將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為：這樣利用約分就能很快獲得本題的解,計(jì)

8、算：12×25可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，將12分解成3×4這樣就變成12×25=（3×4）×25=3×（4×25）=300,,,,,概念,意義,作用,把研究的對(duì)象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)并逐類(lèi)進(jìn)行討論，再把每一類(lèi)的結(jié)論綜合，使問(wèn)題得到解決,不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)就會(huì)有不同的分類(lèi)結(jié)果，從而產(chǎn)生新的概念,數(shù)學(xué)知識(shí)的分類(lèi)有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的梳理和建構(gòu),7、分類(lèi)思想方法,“分而治之、各個(gè)擊

9、破、綜合歸納”,案例,案例,直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段,三角形的分類(lèi),1. Title,2. Title,3. Title,,,,,,,,,,,集合思想,把若干確定的有區(qū)別的事物合并起來(lái)，看作一個(gè)整體，就稱(chēng)為一個(gè)集合，各事物稱(chēng)為集合的元素.,把一些能夠確定的不同對(duì)象看成一個(gè)整體，就說(shuō)這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合,集合思想是運(yùn)用集合的概念、邏輯語(yǔ)言、運(yùn)算、圖形等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或非純數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想方法,小學(xué)采用直觀手段，利用圖形和實(shí)物滲透集合思

10、想,8、集合思想方法,集合思想的特征,集合特征,確定性,互異性,無(wú)序性,集合中的元素一定是不同的. 即集合中的元素沒(méi)有重復(fù)的,集合中的元素沒(méi)有固定的順序,給定一個(gè)集合，按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)確定一個(gè)元素，或者在這個(gè)集合里，或者不在這個(gè)集合里，不能模棱兩可,集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),,,不含任何元素的集合,,含有有限個(gè)元素的集合,,含有無(wú)窮個(gè)元素的集合,集合的分類(lèi),空集,有限集,無(wú)限集,集合的表現(xiàn)形式,,,集合的 表現(xiàn)形式,把集合中的元素一一列

11、舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)，元素之間用逗號(hào)分開(kāi)的方法,用封閉曲線(xiàn)所圍成的圖形（文氏圖）表示集合,把集合中坎的共同特性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi),,列舉法,,圖示法,,,描述法,小學(xué)里的集合,用封閉曲線(xiàn)圈起來(lái)看作一個(gè)整體——集合,圈內(nèi)對(duì)象——為元素,2 4 6 8 10 12 14 16 20,集合與集合的關(guān)系（包含）集合與集合的交集、集合與集合的并集等運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用,案例,案例

12、,四邊形之間的關(guān)系,三角形的關(guān)系,,數(shù)形結(jié)合思想,關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間相互轉(zhuǎn)化,,,,,,數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義又揭示其幾何意義，使問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來(lái)，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想,數(shù)形結(jié)合思想,,9、數(shù)形結(jié)合思想,數(shù)形結(jié)合思想,Content Title,數(shù)形結(jié)合思想包含兩個(gè)方面,往往在研究“數(shù)”的時(shí)候借助于“形”,往往在探討“形”的性質(zhì)時(shí)又離

13、不開(kāi)“數(shù)”,幾何直觀的表現(xiàn)形式,,,,,,,,,,,,,幾何圖形線(xiàn)段圖數(shù)軸,方格紙坐標(biāo)方向標(biāo),示意圖列表動(dòng)畫(huà),表現(xiàn)形式,圖形,圖紙,表格,幾何直觀運(yùn)用領(lǐng)域,我們不僅在幾何教學(xué)中要重視幾何直觀，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中都應(yīng)該重視幾何直觀，培養(yǎng)幾何直觀應(yīng)該貫穿于教學(xué)始終。,案例,平移與旋轉(zhuǎn),9的乘法口訣,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,1+3+5+7+9,計(jì)算公式的推導(dǎo),案例,

14、把陰影部分分別用分?jǐn)?shù)和小數(shù)表示。,分?jǐn)?shù)（ ）小數(shù)（ ）,分?jǐn)?shù)（ ）小數(shù)（ ）,數(shù)的表示,案例,案例,減法小棒圖,案例,三角形的特性,平均數(shù),案例,位置與方向,千以?xún)?nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí),案例,解決實(shí)際問(wèn)題,,一般不考慮全部數(shù)據(jù),現(xiàn)實(shí)生活中大量數(shù)據(jù),進(jìn)行合理推斷決策,有時(shí)調(diào)查全部數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)就是搜集、整理、計(jì)算和分析研究對(duì)象的數(shù)據(jù)，并作出適當(dāng)推斷的方法。,統(tǒng) 計(jì),10、統(tǒng)計(jì)思想方法,小學(xué)學(xué)習(xí)基本統(tǒng)計(jì)法

15、,統(tǒng)計(jì)思想的類(lèi)型,一是統(tǒng)計(jì)作為四大領(lǐng)域知識(shí)中的一類(lèi)知識(shí)，安排了很多獨(dú)立的單元進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)；,在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：,小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要有：,案例,條形統(tǒng)計(jì)圖,一年級(jí)統(tǒng)計(jì),案例,折線(xiàn)統(tǒng)計(jì)圖,平均數(shù),案例,扇形統(tǒng)計(jì)圖,復(fù)式橫向條形統(tǒng)計(jì)圖,11、概率思想方法,,,,事 件,,,,,確定事件,,,,,必然事件不可能事件,,,,,不確定事件,,,,,隨機(jī)事件,,,,,,事件,如：拋硬幣是正面可能發(fā)生也可

16、能不發(fā)生,如：每天日出日落必然發(fā)生擲兩枚骰子兩個(gè)數(shù)字的和是13不可能發(fā)生,案例,隨機(jī)現(xiàn)象,案例,拋硬幣,摸球活動(dòng),案例,設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)盤(pán),游戲規(guī)則,,,12、極限思想方法,,,,,滲透有限與無(wú)限、曲與直、變與不變的辯證關(guān)系,在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透著既對(duì)立又統(tǒng)一的辯證思維,小學(xué)生思維以形象思維為主逐步向邏輯思維過(guò)渡,用無(wú)限逼近的方式來(lái)研究數(shù)量的變化趨勢(shì)的思想,案例,劉徽“割圓術(shù)”,莊子,“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”,案例,自然數(shù),“自然數(shù)”

17、“奇數(shù)”“偶數(shù)”,直線(xiàn)、射線(xiàn)與線(xiàn)段,案例,循環(huán)小數(shù),平行與垂直,,13、變中抓不變思想,案例,年齡問(wèn)題,交換律和結(jié)合律,加法和乘法的交換律，交換加數(shù)（因數(shù)）的位置，它們的和（或積）不變,年齡問(wèn)題中年齡差不變,兄妹二人同時(shí)離家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米，哥哥到校門(mén)時(shí)，發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿著原路返回，恰在離校門(mén)180米處和妹妹相遇，他們家距離學(xué)校有多遠(yuǎn)？,,,,,,,,,,兄：,妹：,每分鐘90米,？米,180

18、米,每分鐘60米,,,,校門(mén),案例,兄妹二人走的時(shí)間不變,14、可逆思想方法,案例,15、分解思想方法,朝陽(yáng)小學(xué)三年級(jí)有4個(gè)班，每班50人，四年級(jí)有218人，三年級(jí)和四年級(jí)共有多少人？,200＋218＝418（人）,⑵ 三年級(jí)和四年級(jí)共有多少人？,50×4＝200（人）,⑴ 三年級(jí)有多少人？,答：三年級(jí)和四年級(jí)共有418人。,綜合算式： 50×4＋218＝418（人）,案例,解答復(fù)合應(yīng)用題,16、有序思想方法,

19、,有序思想,,,思維要有序，即要按照一定的順序，有條理地，全面地觀察和思考問(wèn)題,自然數(shù)列按從小到大的順序排列 數(shù)數(shù)按照從小到大的順序數(shù)或者倒著數(shù),數(shù)列按照一定的規(guī)律排列 大數(shù)可按照一個(gè)一個(gè)數(shù)、十個(gè)十個(gè)數(shù)、百個(gè)百個(gè)數(shù)……,案例,數(shù)長(zhǎng)方形,乘法口訣的編制,下圖中共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？,17、函數(shù)思想,案例,函數(shù),面積與體積,用表格表示數(shù)量間的關(guān)系,用圖像表示數(shù)量間的關(guān)系,正比例和反比例,圓柱的體積與底面半徑r和圓柱的高的關(guān)系：Ｖ＝2

20、πrh,平行四邊形的面積：S=ah,長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)與面積,填表,18、數(shù)學(xué)模型思想,案例,數(shù)的運(yùn)算,面積與體積,a+b=cc-a=ba×b=c(a≠0,b≠0)c÷a=b,c÷b=a,時(shí)間、速度和路程s=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)a=np三角形面積;s=1/2ab圓周長(zhǎng)：c=2πr長(zhǎng)方體體積：v=abc圓錐體積：v=1/3sh,數(shù)學(xué)模型的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很

21、多相同之處，同樣具有普遍的意義。,,把有可能解決的或未解決的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類(lèi)以便解決可較易解決的問(wèn)題，以求得解決,把甲問(wèn)題的求解，化歸為乙問(wèn)題的求解，然后通過(guò)乙問(wèn)題的解反向去獲得甲問(wèn)題的解,化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，化曲為直等,19、化歸思想,1、計(jì)算357+137=494（千米) 137+357=494（千米) 得出結(jié)果一樣，也就是: 357+

22、137=137+357 觀察下面兩組算式，看看有什么關(guān)系 18+17O17+18 124+235O 235+124 上面每組算式有什么共同點(diǎn)？可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 得出：任何兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。,案例,認(rèn)識(shí)加法交換律,直角三角形內(nèi)角和為180度銳角三角形的內(nèi)角和為180度鈍角三角形的內(nèi)角和為180度三角形只有三類(lèi)得出:

23、任何三角形的內(nèi)角和為180度,案例,三角形的內(nèi)角和為180度,案例,異分母分?jǐn)?shù),分?jǐn)?shù)加減法：異分母分?jǐn)?shù)加減法轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法,梯形面積,梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積,圓錐體的體積,圓錐體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積,統(tǒng)計(jì),運(yùn)用不同的統(tǒng)計(jì)圖表描述各種數(shù)據(jù),,,,,20、歸納思想方法,觀察下面的一組算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？14+41=55, 34+43=77, 27+72=99, 通過(guò)

24、觀察算式，能夠發(fā)現(xiàn)這樣一些規(guī)律：所有的算式都是兩位數(shù)加兩位數(shù)，每個(gè)算式的兩個(gè)加數(shù)中的一個(gè)加數(shù)的個(gè)位和十位數(shù)互換，變成另一個(gè)加數(shù)的和具有一定的規(guī)律。,案例,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,案例,用計(jì)算器計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律,案例,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,,,,,推理,演繹推理,合情推理,推理是從一個(gè)或幾個(gè)已有的判斷得出另一個(gè)新判斷的思維形式,歸納推理和類(lèi)比推理由特殊到一般的推理,由普通性的前提推出特殊性結(jié)論的推理,21、推理思想,推理所根據(jù)的判斷叫前提根據(jù)前提所得到的

25、判斷叫結(jié)論,案例,案例,加法法則,三角形的內(nèi)角和,案例,梯形的面積,小數(shù)乘法,案例,分?jǐn)?shù)基本性質(zhì),分?jǐn)?shù)除法,數(shù)學(xué)思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過(guò)短期的訓(xùn)練便能掌握，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)更應(yīng)該是一個(gè)通過(guò)長(zhǎng)期的滲透和影響才能夠形成思想和方法的過(guò)程。 在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該把握“好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生。隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲…”的思想，希望數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能夠象春雨一樣，滋潤(rùn)著學(xué)生的心田。,后記,謝謝批評(píng)指正！