第6講 一元二次方程

1、第 6 講 一元二次方程 一元二次方程一、 一、 知識清單梳理 知識清單梳理知識點一：一元二次方程及其解法 知識點一：一元二次方程及其解法 關鍵點撥及對應舉例 關鍵點撥及對應舉例1. 一元二次方程的相關概念(1)定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2、bx、c 分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項，a、b、c 分別稱為二次項系數(shù)、一次項

2、系數(shù)、常數(shù)項．例：方程 是關于 x 的 2 0 a ax ? ?一元二次方程，則方程的根為－1.2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接開平方求解.( 2 )因式分解法：可化為（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式為 x=（b2-4ac≥0）.2 42b b aca? ? ?(4)配方法：當一元二次方程的

3、二次項系數(shù)為 1，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，也可以考慮用配方法．解一元二次方程時，注意觀察， 先特殊后一般，即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法，不能用這兩種方法解時，再用公式法.例：把方程 x2+6x+3=0 變形為(x+h)2=k 的形式后，h=-3,k=6.知識點二 知識點二 ：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系 ：一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系3.根的判別式(1)當 Δ＝ >0 時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根． 2

4、 4 b ac ?(2)當 Δ＝ =0 時，原方程有兩個相等的實數(shù)根． 2 4 b ac ?(3)當 Δ＝ <0 時，原方程沒有實數(shù)根． 2 4 b ac ?例：方程 的判別 2 2 1 0 x x ? ? ?式等于 8，故該方程有兩個不相等的實數(shù)根；方程 2 2 3 0 x x ? ? ?的判別式等于－8，故該方程沒有實數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關系（1）基本關系：若關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個根分

5、別為 x1、x2,則 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關系的前提條件是△≥0.（2）解題策略：已知一元二次方程，求關于方程兩根的代數(shù)式的值時，先把所求代數(shù)式變形為含有 x1+x2、x1x2 的式子，再運用根與系數(shù)的關系求解.與一元二次方程兩根相關代數(shù)式的常見變形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, 等. 1 21 2 1 21 1 x xx x

6、x x? ? ?失分點警示 失分點警示在運用根與系數(shù)關系解題時，注意前提條件時△=b2-4ac≥0.知識點三 知識點三 ：一元二次方程的應用 ：一元二次方程的應用（1）解題步驟：①審題；② 設未知數(shù)；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤檢驗根是否有意義；⑥作答．4.列一元二次方程解應用題（2）應用模型：一元二次方程經常在增長率問題、面積問題等方面應用.①平均增長率（降低率）問題：公式：b＝a(1±x)n，a 表示基數(shù)，x