高考立體幾何問題中長方體的妙用

1、2 0 0 8年第 2期 中學(xué)數(shù)學(xué)研 究 3 3高考 立體 幾 何 問題 中長 方體 的妙用 廣東省佛 山市南海藝術(shù)高 中( 5 2 8 2 0 0 )肖憲龍 長方體是我們最為熟悉 的幾何體之一 ， 也是 我們學(xué)習(xí)立體幾何的工具之一．若能正確運(yùn)用這個(gè) 工具去處理問題， 你會(huì)發(fā)現(xiàn) ， 立體幾何并非一定很 復(fù)雜． 下面僅舉數(shù)例 ， 供教學(xué)和高考復(fù)習(xí)時(shí)參考．一、 判定線線 、 線面和面面的平行與垂直關(guān)系 立體幾何中“ 線線 、 線面和面面

2、的平行 與垂直 關(guān)系的判定”是高考重點(diǎn)考察對象之一， 一般 以選 擇 、 填空題的形式出現(xiàn)． 如何準(zhǔn)確快捷作答呢? 借助 長方體往往可以奏效． 如 ：例 1設(shè) m、 n是兩條不 同的直線 ，、 J B 是 兩個(gè) 不同的平面． 考查下列命題 ， 其中正確的命題是 A ．mj _， nc， mj _ nj _； B ．∥ ， mj _， n∥ mj _ n ； C ．j _， mj _， n ∥mj _ n ； D ．j _，f1m ， n

3、j _ m nj _分析： 此類 問題若 每個(gè)答 案都 去證 明不 容 易 ， 代 價(jià) 也 大． ?借助長方體尋求選擇項(xiàng) 的反例 較易找出正確 的選擇支．解 ： 如 圖 1 有 mj _， nc，mj _ n∥， 排除 A； 如圖2。 o LB。 1 no L 。 nf fB =1 nfn ，} 除 C； 如 圖 3 ，j _，n=m， nj _ mn 與J B 不垂直 ， 排 除 D ． 故選 B ．二 、 計(jì)算空間的角 立體幾何 中

4、“ 角的計(jì)算” 是 高考另一重點(diǎn)考察 對象． 有 時(shí) 借助長方體 ， 有巧妙解法． 如 ：例2設(shè)向量與各坐標(biāo)軸問的角為 、 y ， 若 =6 0 。 ，=1 2 0 。 ， 則 y =．分析 ： 一個(gè) 向量與各坐標(biāo)軸之問的夾角在空問 坐標(biāo)系中要表示出來 ， 最好的方法是構(gòu)造長方體．略解： 如圖 4 ， 以向量 A C為長方體的對角線構(gòu) 造長方體 ， 則易知 C O S6 0 。 +C O S1 2 0 。 +C O S=1 ，易解得

5、=4 5 。 或 1 3 5O ．三、 計(jì)算 空間距離 立體幾何 中“ 距離的計(jì)算”在高考 中與“ 角 的 計(jì)算” 地位類似 ， 某些題借助 長方體也有巧妙解法． 如：例 3在 四 面體 P —A B C 中 ，、 P 曰 、 P C 兩 兩 垂 直 ，是面 A B C內(nèi)一點(diǎn) ， 且 到三 個(gè) 面 P A B、 P BC 、 P C A 的 距離分別為 2 、 3 、 6 ， 則點(diǎn) 到 頂 點(diǎn) P 的距離 是 ．分析： 借助已知條件，

6、 可考 造長方體 ， 思路巧妙且易解．解 ： 如 圖 5 ， 以 P M 為 對角 線， 過頂點(diǎn) 的三條棱長分別 為 2 、 3 、 6構(gòu)造長 方體 ， 則 P M= 、= 7 ．四、 計(jì)算面積和體 積 立體幾何 中“ 面積和體積 圖 5的計(jì)算” 是新課標(biāo)下的高考另一重點(diǎn)考察對象 ， 特 別是文科生只學(xué)習(xí)了“ 線線 、 線面和面面的平行與 垂直關(guān)系” 和“ 幾何體的面積和體積” 兩大板塊， 對 “ 角和距離的計(jì)算 ” 很少接觸． 因

7、此 ， 快速準(zhǔn)確求出面積和體積是文科生的“ 夢想 ” ． 某些問題借助長方 體作為工具可圓考生的夢． 如：例 4在球 面上有 四個(gè)點(diǎn) P 、 A 、 B、 C ， 若 、P B 、 P C兩兩互相垂直 ， P A =P B =P C=0 ， 那么這 個(gè)球 面 的面積是 ．分析 ： 考慮以、 P 曰 、 P C為棱構(gòu)造正方體．略解 ： 以、 P 曰 、 P C為棱構(gòu)造正方體 ， 則球 的 直徑為正方體的對角線 ， 即 2 R =o ，

8、 故球面面積 為 S =4 7 r R=3 7 r 0．變式 ： 在球面上有 四個(gè)點(diǎn) P 、 A 、 B、 C ， 若 、 P 曰 、P C 兩兩互相垂直，=3 ， P 曰= 5 ， P C=3 0 ， 那么 這個(gè)球的體積為 ．分析 ： 以、 P 曰 、 P C為棱構(gòu)造長方體 ， 則球的 直徑為長方體的對角線 ， 故( 2 R )=3+ 5+ 3 0=6 4 ， 從而球體積為 V=4 z r R／ 3：2 5 6 z r ／ 3 ．作

9、者介紹 ： 肖憲龍( 1 9 6 2～) ， 男， 湖南邵陽人． 中學(xué)高級教 師．阜 國維普資訊 http://www.cqvip.com 2 0 0 8年第 2期 中學(xué)數(shù)學(xué)研 究 3 3高考 立體 幾 何 問題 中長 方體 的妙用 廣東省佛 山市南海藝術(shù)高 中( 5 2 8 2 0 0 )肖憲龍 長方體是我們最為熟悉 的幾何體之一 ， 也是 我們學(xué)習(xí)立體幾何的工具之一．若能正確運(yùn)用這個(gè) 工具去處理問題， 你會(huì)發(fā)現(xiàn) ， 立體幾何并非

10、一定很 復(fù)雜． 下面僅舉數(shù)例 ， 供教學(xué)和高考復(fù)習(xí)時(shí)參考．一、 判定線線 、 線面和面面的平行與垂直關(guān)系 立體幾何中“ 線線 、 線面和面面的平行 與垂直 關(guān)系的判定”是高考重點(diǎn)考察對象之一， 一般 以選 擇 、 填空題的形式出現(xiàn)． 如何準(zhǔn)確快捷作答呢? 借助 長方體往往可以奏效． 如 ：例 1設(shè) m、 n是兩條不 同的直線 ，、 J B 是 兩個(gè) 不同的平面． 考查下列命題 ， 其中正確的命題是 A ．mj _， nc， mj _ n

11、j _； B ．∥ ， mj _， n∥ mj _ n ； C ．j _， mj _， n ∥mj _ n ； D ．j _，f1m ， nj _ m nj _分析： 此類 問題若 每個(gè)答 案都 去證 明不 容 易 ， 代 價(jià) 也 大． ?借助長方體尋求選擇項(xiàng) 的反例 較易找出正確 的選擇支．解 ： 如 圖 1 有 mj _， nc，mj _ n∥， 排除 A； 如圖2。 o LB。 1 no L 。 nf fB =1 nfn ，} 除

12、 C； 如 圖 3 ，j _，n=m， nj _ mn 與J B 不垂直 ， 排 除 D ． 故選 B ．二 、 計(jì)算空間的角 立體幾何 中“ 角的計(jì)算” 是 高考另一重點(diǎn)考察 對象． 有 時(shí) 借助長方體 ， 有巧妙解法． 如 ：例2設(shè)向量與各坐標(biāo)軸問的角為 、 y ， 若 =6 0 。 ，=1 2 0 。 ， 則 y =．分析 ： 一個(gè) 向量與各坐標(biāo)軸之問的夾角在空問 坐標(biāo)系中要表示出來 ， 最好的方法是構(gòu)造長方體．略解： 如圖 4

13、 ， 以向量 A C為長方體的對角線構(gòu) 造長方體 ， 則易知 C O S6 0 。 +C O S1 2 0 。 +C O S=1 ，易解得 =4 5 。 或 1 3 5O ．三、 計(jì)算 空間距離 立體幾何 中“ 距離的計(jì)算”在高考 中與“ 角 的 計(jì)算” 地位類似 ， 某些題借助 長方體也有巧妙解法． 如：例 3在 四 面體 P —A B C 中 ，、 P 曰 、 P C 兩 兩 垂 直 ，是面 A B C內(nèi)一點(diǎn) ， 且 到三 個(gè) 面

14、P A B、 P BC 、 P C A 的 距離分別為 2 、 3 、 6 ， 則點(diǎn) 到 頂 點(diǎn) P 的距離 是 ．分析： 借助已知條件， 可考 造長方體 ， 思路巧妙且易解．解 ： 如 圖 5 ， 以 P M 為 對角 線， 過頂點(diǎn) 的三條棱長分別 為 2 、 3 、 6構(gòu)造長 方體 ， 則 P M= 、= 7 ．四、 計(jì)算面積和體 積 立體幾何 中“ 面積和體積 圖 5的計(jì)算” 是新課標(biāo)下的高考另一重點(diǎn)考察對象 ， 特 別是文

15、科生只學(xué)習(xí)了“ 線線 、 線面和面面的平行與 垂直關(guān)系” 和“ 幾何體的面積和體積” 兩大板塊， 對 “ 角和距離的計(jì)算 ” 很少接觸． 因此 ， 快速準(zhǔn)確求出面積和體積是文科生的“ 夢想 ” ． 某些問題借助長方 體作為工具可圓考生的夢． 如：例 4在球 面上有 四個(gè)點(diǎn) P 、 A 、 B、 C ， 若 、P B 、 P C兩兩互相垂直 ， P A =P B =P C=0 ， 那么這 個(gè)球 面 的面積是 ．分析 ： 考慮以、 P

16、曰 、 P C為棱構(gòu)造正方體．略解 ： 以、 P 曰 、 P C為棱構(gòu)造正方體 ， 則球 的 直徑為正方體的對角線 ， 即 2 R =o ， 故球面面積 為 S =4 7 r R=3 7 r 0．變式 ： 在球面上有 四個(gè)點(diǎn) P 、 A 、 B、 C ， 若 、 P 曰 、P C 兩兩互相垂直，=3 ， P 曰= 5 ， P C=3 0 ， 那么 這個(gè)球的體積為 ．分析 ： 以、 P 曰 、 P C為棱構(gòu)造長方體 ， 則球的 直徑為長