常微分方程解的唯一性定理及應(yīng)用

1、【標(biāo)題】常微分方程解的唯一性定理及應(yīng)用 【作者】周 宏 偉 【關(guān)鍵詞】存在唯一性 逐步逼近法 冪級數(shù)展開式 【指導(dǎo)老師】林 昌 盛 【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 【正文】1.引言微分方程源于生產(chǎn)實際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動地解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況.對于反映某一運動規(guī)律的微分方程，如果能找出其通解的表達(dá)式，一般來說，就能按給定的一定條件相應(yīng)地選定其中的任意常數(shù)，獲得所需要的通解并通過其表達(dá)式了

2、解它對某些參數(shù)的依賴情況，從而適當(dāng)?shù)剡x擇這些參數(shù)，使得對應(yīng)的解——“運動”具有所需的性能.因此，對初值問題的研究被提到重要的地位.那么，我們自然要問初值問題的解是否存在？如果存在是否唯一呢？本文介紹存在唯一性定理很好的回答了上面的問題，它明確的肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理論中最基本的定理，有其重大的理論意義.解的存在唯一性定理保證了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和理論基礎(chǔ),本文在定理的

3、證明過程中還提供了具體的求近似解的途徑.2.存在唯一性定理及證明定理 1[1] 若函數(shù) 在矩形域 ， 上滿足以下條件：1) 在 上連續(xù)2) 在 上關(guān)于變量 滿足利普希茲條件（Lipschitz）,即存在常數(shù) ,對 上任何一對點 和( , ) 均有不等式| | ≤ | |成立；則初值問題 在區(qū)間 上存在唯一解 , 這里 而 2.1 解的存在和唯一定理的證明為了便于對解的存在唯一性定理的理解，本文分別采用了皮卡（Picard

4、）逐步逼近法、歸納法和利用格郎瓦爾（GronwAall）不等式法，對于皮卡（Picard）逐步逼近法本文參考了常微分方程分五個命題來證明定理，證明如下:2.1.1 皮卡（Picard）逐步逼近法[2]命題 1 設(shè) 是方程 的定義于區(qū)間 上，滿足初始條件 的解，則 是積分方程（2-1）的定義于 上的連續(xù)解.反之亦然.證明 因為 是方程 的解，故有 兩邊從 到 取定積分得到把 代入上式即有因此， 是（2-1）的定義于 上的連續(xù)解.反之，如

5、果 是（2-1）的連續(xù)解，則有（2-2）命題 5 設(shè) 是積分方程（2-1）的定義于 上的一個連續(xù)解，則 ， 證明 我們首先證明 也是序列 的一致收斂極限函數(shù).為此從（ ）我們可以進(jìn)行如下估計現(xiàn)設(shè) ，則有故由數(shù)學(xué)歸納法得知，對于所有的正整數(shù) ，有下面的估計式（2-9）因此，在 上有（2-10）是收斂級數(shù)的公項，故 時 .因而 在 上一致收斂于 .根據(jù)極限的唯一性，即得 ， 命題 5 證畢.2.1.2 另外兩種證法[3]2.1.2.1

6、歸納法假設(shè) 也是積分方程 的一個解,設(shè) 為它們共同的存在區(qū)間,其 為某一正數(shù),且 ,則有| | = （2-11）在 上函數(shù)| | 是連續(xù)的,因而是有界的.設(shè) 為它的一個上界,則有| |≤ 代入（2-11）| |≤ 代入（2-11）得| | ≤ 代入（2-11），如此遞推，用歸納法便得到| | ≤ 因為 由于 收斂，故一般項有 .所以， 證畢.2.1.2.2 利用格郎瓦爾（GronwAall）不等式[1]在證明定理 1 前先證明一