階微分方程解的存在定理

1、第三章第三章一階微分方程解的存在定理一階微分方程解的存在定理[教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)]1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的誤差估計(jì)式。2.了解解的延拓定理及延拓條件。3.理解解對初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。[教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)]解的存在唯一性定理的證明，解對初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。[教學(xué)方法教學(xué)方法]講授，實(shí)踐。[教學(xué)時(shí)間教學(xué)時(shí)間]12學(xué)時(shí)[教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容]解的存在唯一性定理的條

2、件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件，解對初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。[考核目標(biāo)考核目標(biāo)]1.理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡單的問題。2.熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對初值的連續(xù)性及可微性公式。3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)

3、律，能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其

4、他理論的基礎(chǔ)。例如方程2dyydx?過點(diǎn)的解就是不唯一，易知是方程過的解，此外，容易驗(yàn)證，或更一般地，(00)0y?(00)2yx?函數(shù)200()c1xcyxcx????????都是方程過點(diǎn)而且定義在區(qū)間上的解，其中是滿足的任一數(shù)。(00)01x??c01c??解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存

5、在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。1存在性與唯一性定理存在性與唯一性定理：（1）顯式一階微分方程lim()()nnxx?????存在，對(3.4)取極限得到00010lim()lim(())=(())xnnxnnxxxyfxxdxyfxxdx?????????????即.00()(())xxxyfxxdx????

6、?4)是積分方程在上的連續(xù)解.()x?00()xxyyfxydx???00[]xhxh??這種一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法逐步逼近法.在定理的假設(shè)條件下分五個(gè)命題來證明定理.為了討論方便只考慮區(qū)間對于區(qū)間的討論完全類似.00xxxh???00xhxx???命題命題1設(shè)是方程(3.1)定義于區(qū)間上滿足初始條件()yx??00xxxh???00()xy??（3.3）的解則是積分方程()yx??(3.5)00()xxyyfxydx?

7、??00xxxh???的定義于上的連續(xù)解.反之亦然.00xxxh???證明證明因?yàn)槭欠匠?3.1)滿足的解于是有()yx??00()xy??()(())dxfxxdx???兩邊取到的積分得到0xx00()()(())xxxxfxxdx??????00xxxh???即有00()(())xxxyfxxdx?????00xxxh???所以是積分方程定義在區(qū)間上的連續(xù)解.()yx??00()xxyyfxydx???00xxxh???反之如果是積