無窮區(qū)間上積-微分方程解的存在唯一性.pdf

1、非線性泛函分析是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，因其能很好的解釋自然界中的各種各樣的自然現(xiàn)象受到了越來越多的數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注.其中，非線性脈沖方程解的存在唯一問題來源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理的多個(gè)分支，是目前分析數(shù)學(xué)中研究最為活躍的領(lǐng)域之一.本文利用錐理論，不動(dòng)點(diǎn)理論等方法在無窮區(qū)間上研究了幾類脈沖方程解的存在唯一問題，得到了一些新成果. 根據(jù)內(nèi)容本文分為三章.本文第一章中，給出了無窮區(qū)間上一類抽象連續(xù)函數(shù)族相對緊性判定的一個(gè)充要條件，并應(yīng)

2、用它獲得了二階微分方程終值問題解的存在性.其主要內(nèi)容是：引理1.2.4設(shè)E為Banach空間，un(t)∶J→E(n=1，2…)連續(xù)，若存在函數(shù)ρ∈L[0，∞)使‖un(t)‖≤ρ(t)，t∈J,n=1，2…，則α({un(t)∶n=1，2…})在J上可積，且α({∫∞0un(t)dt∶n=1，2…})≤2∫∞0α({un(t)∶n=1，2…})dt.(1.2.1)注1.2.1引理1.2.4將引理1.2.3推廣到了無窮區(qū)間，它對研究無窮

3、區(qū)間上的微分方程起到重要作用(見§1.4節(jié)). 注1.2.2引理1.2.4的證明在相關(guān)文獻(xiàn)中沒有見到. 定理1.3.1集H()C10[J,E]相對緊的充分必要條件是：(i)任意的b＞a，H′={x′∶x∈H}中的函數(shù)在[a，b]上等度連續(xù)，且任給t∈J，H′(t)={x′(t)∶x∈H}在E中相對緊；(ii)存在t0∈J，使得H(t0)是E中的相對緊集；(iii)當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→θ，x′(t)→θ對所有x∈H一致.

4、 定理1.3.2集H()Cm0[J,E]相對緊的充分必要條件是：(a)任意的b＞a，H(m)中的函數(shù)在[a，b]上等度連續(xù)，且任給t∈J，H(m)(t)={x′(t)∶x∈H}在E中相對緊；(b)任意的k(k=0，1，…，m-1)存在tk∈J，使得H(k)(tk)是E中的相對緊集；(c)當(dāng)t→∞時(shí)，x(t)→θ，x′(t)→θ，…，x(m)(t)→θ對所有x∈H一致. 注1.3.1定理1.3.1，1.3.2將定理1.1.

5、2推廣到無窮區(qū)間上，擴(kuò)大了它的使用范圍. 應(yīng)用到抽象空間上微分方程的終值問題x″=f(t，x，x′)，t∈R+；x(∞)=x′(∞)=0；(1.4.1)其中f∈C[R+×E×E，E]，R+=[0,∞)，E為Banach空間，x(∞)=limt→∞x(t)，x′(∞)=limt→∞x′(t). 使用以下假設(shè)：(H1)存在非負(fù)函數(shù)α(t)，β(t)，γ(t)，tα(t)，tβ(t)，tγ(t)∈L(R+)，使得任意的t∈R+

6、，x(t)，y(t)∈C[R+，E]有‖f(t，x，y)‖≤α(t)+β(t)‖x(t)‖+γ(t)‖y(t)‖，∫∞0(β(t)+γ(t))dt＜1，∫∞0t(β(t)+γ(t))dt＜1；(H2)對于任意有界集B1，B2()E，f(t，B1，B2)相對緊.得到下面一個(gè)結(jié)論定理1.4.1假設(shè)條件(H1)與(H2)成立，則方程(1.4.1)在C2[R+，E]中有解. 注1.4.1此問題應(yīng)用文[22]的結(jié)論不能解決，可見推廣了文[

7、22]的結(jié)果并驗(yàn)證了定理1.3.1在微分方程中的作用. 本文第二章中，通過應(yīng)用使用單調(diào)迭代技巧與比較原理，在無窮區(qū)間上得到了一階脈沖積-微分方程的初值問題{x′=f(t，x，Tx)，t∈J,t≠tk，△x|t=tk=Ik(x(tk))，k=1，2，…，(2.1.1)x(t0)=x0，的最大最小解的存在性.使用下列條件與引理引理2.2.1設(shè)m(t)∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]滿足{m′(t)≤-M(t)m(t)-N(t)(

8、Tm)(t)，t∈J,t≠tk，△m|t=tk≤-Lkm(tk)，k=1，2，…，(2.2.1)m(0)≤θ，其中M(t)，N(t)非負(fù)有界可積函數(shù)，Li＜1(i=1，2，…)且∑∞i=0Li，∏∞i=1(1-Li)都是收斂的.如果下列兩個(gè)條件之一滿足則m(t)≤θ∶(a)M*+N*K*+∑∞i=1Li≤1；(b)M*+N*K*≤1+∏∞i=1(1-Li)/1+∑∞l=1∏∞i=l(1-Li)，其中M*=∫∞0M(t)dt，N*=∫∞0

9、N(t)dt，K*=SUPt∈J{∫∞0k(t，s)ds}.(2.2.2)引理2.2.2設(shè)σ，η∈BPC[J,E]，M*+N*K*＜1.那么，線性脈沖積-微分方程{x′(t)=-M(t)x(t)-N(t)(Tx)(t)+σ(t)，t∈J,t≠tk，△x|t=tk=Ik(η(tk))-Lk[x(tk)-η(tk)]，k=1，2，…，(2.2.9)x(0)=x0，有一個(gè)解x∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]. (H1)存在u0，v

10、0∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]滿足u0(t)≤v0(t)(t∈J)且{u′0≤f(t，u0，Tu0)，t∈J,t≠tk，△u0|t=tk≤Ik(u0(tk))，k=1，2，…，u0(0)≤x0，{v′0≥f(t，v0，Tv0)，t∈J,t≠tk，△v0|t=tk≥Ik(v0(tk))，k=1，2，…，v0(0)≥x0，即，u0和v0分別是IVP(1.1)的上下解；(H2)存在非負(fù)可積有界M(t)與N(t)滿足引理2.1的條件(a

11、)，(b)之一，使得f(t，x，Tx)-f(t，y，Ty)≥-M(t)(x-y)-N(t)(Tx-Ty)，其中t∈J，u0≤y≤x≤v0，Tu0≤Ty≤Tx≤Tv0；(H3)存在常數(shù)0≤Lk＜1，k=1，2，…，使得Ik(x)-Ik(y)≥-Lk(x-y)，此時(shí)u0≤y≤x≤v0(k=1，2，…)且∞∑i=0Li，∞∏i=0(1-Li)是收斂的；(H4)對于任意的t∈J和任意的在每個(gè)Jk有界等度連續(xù)的單調(diào)序列B={un}c[u0，v0]

12、，存在非負(fù)常數(shù)c，c*及ck(k=1，2，…)使得α(f(t，B(t)，(TB)(t))≤cα(B(t))+c*α((TB)(t))，與α(Ik(B(t)))≤ckα(B(t))，k=1，2，…. 得到下面主要結(jié)果如下定理2.3.1設(shè)P是正規(guī)的且條件(H1)-(H4)滿足.那么存在單調(diào)序列{un}，{vn}()BPC[J,E]∩C1[J′，E]在J上分別一致收斂于IVP(2.1.1)的最小與最大解x*，x*∈BPC[J,E]∩C

13、1[J′,E]于是，如果x∈BPC[J,E]∩C1[J′，E]是IVP(2.1.1)的任意一個(gè)解滿足x∈[u0，v0]，那么對于任意的t∈J，我們有u0(t)≤u1(t)≤…≤un(t)≤…≤x*(t)≤x(t)≤x*(t)≤…≤vn(t)≤…≤v1(t)≤v0(t).(2.3.1)注2.3.1本文中的J是一個(gè)無界區(qū)域.因此，本文的結(jié)論改進(jìn)和推廣了文[7],[9],[10],[28]中的結(jié)論. 定理2.3.2設(shè)P是正則的且滿足條

14、件(H1)-(H3).那么定理2.3.1的結(jié)論成立. 注2.3.2顯然，定理2.3.2改進(jìn)了文[10]，[28]中的相應(yīng)的定理. 例2.4.1考慮一階非線性積-微分方程的初值問題{x′(t)=e-t-e-7tx(t)-e-5t∫t0e-(t+s)x(s)ds;△x|t=tk=1/(n+2)(n+3)x(tk),k=1,2,…；(2.4.1)x(0)=x0，其中tk=1/1+1/k2.顯然，x(t)≡0不是IVP(2.4.

15、1)的解. 結(jié)論IVP(2.4.1)有在J′上連續(xù)可微的最小最大解且滿足0≤x(t)≤{t+1，t∈[0,1/2]；t+1/2，t∈(1/2,4/5]；t+1/k+1，t∈(1/1+1/k2,1/1+1/(k+1)2]；注2.4.1應(yīng)用[28]的結(jié)論，我們無法解決例2.4.1.這表示本文改進(jìn)推廣了文[28]的結(jié)果. 在第三章中，利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)原理得出了Banach空間中一階微分方程組{x′=f(t，x，y)，

16、y′=g(t，x，y)，t∈[0，∞)，(3.1.1)x(∞)=βx(0)，y(∞)=δy(0)，的無窮邊值問題解存在的判定定理，其中β，δ＞1.使用下列條件(C1)f(t，x，y)，g(t，x，y)∈C[J×P×P,P]，且‖f(t，x，y)‖≤a1(t)+a2(t)‖x‖+a3(t)‖y‖，‖g(t，x，y)‖≤b1(t)+b2(t)‖x‖+b3(t)‖y‖，其中ai(t)，bi(t)在J上可積(i=1，2，3)；(C2)f(t，B

17、1，B2)，g(t，B1，B2)是相對緊的，其中Bi()E有界集(i=1，2)； 得到下面主要結(jié)果如下：定理3.3.1若條件(C1)，(C2)成立，且有γ=β/β-1(a*2+a*3)+δ/δ-1(b*2+b*3)＜1，其中a*i=∫∞aai(t)dt,b*i=∫∞abi(t)dt,i=1，2，3.則方程組(3.1.1)在X中有解. 注3.3.1定理3.3.1利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理建立了解決一階二元方程組無窮邊值