線性代數(shù)的應(yīng)用案例

1、案例一 案例一已知不同商店三種水果的價格、不同人員需要水果的數(shù)量以及不同城鎮(zhèn)不同人員的數(shù)目的矩陣：? ? ???? ? ???10 . 020 . 015 . 010 . 015 . 010 . 0B A 商店 商店梨橘子蘋果第一個矩陣為 A，第二個矩陣為 B，而第三個矩陣為 C。（1）求出一個矩陣，它能給出在每個商店每個人購買水果的費(fèi)用是多少？（2）求出一個矩陣，它能確定在每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（1）設(shè)該矩陣為 D，則

2、D=BA，即：此結(jié)果說明，人員 A 在商店 A 購買水果的費(fèi)用為 2.30，人員 A 在商店 B 購買水果的費(fèi)用為 3.50，人員 B 在商店 A 購買水果的費(fèi)用為 1.65，人員 B 在商店 B 購買水果的費(fèi)用為2.10。（2）設(shè)該矩陣為 E，則 E=CB，即：此結(jié)果說明，城鎮(zhèn) 1 蘋果的購買量為 7000，城鎮(zhèn) 1 橘子的購買量為 12500，城鎮(zhèn) 1 梨的購買量為 5500；城鎮(zhèn) 2 蘋果的購買量為 14000，城鎮(zhèn) 2 橘子的購

3、買量為 25000，城鎮(zhèn) 2 梨的購買量為 11000。題后說明： 題后說明：這是一個矩陣的具體應(yīng)用問題。其實(shí)很顯然在沒有矩陣的知識前，我們也可以解出這一簡單的問題。此題的一般提法是：現(xiàn)有兩個城鎮(zhèn)（城鎮(zhèn) 1 和城鎮(zhèn) 2） ；城鎮(zhèn) 1 中有人員 A（1000 人）和人員 B（500 人） ，城鎮(zhèn) 2 中有人員 A（2000 人）和人員 B（1000 人） ；人員 A 需蘋果、橘子和梨分別 5、10 和 3，而人員 B 需蘋果、橘子和梨分別

4、 4、5 和 5；現(xiàn)不妨假設(shè)每個城鎮(zhèn)中都有兩個商店（商店 A 和商店 B） ，每個商店內(nèi)的蘋果、橘子和梨的價格均不相同。商店A 中蘋果、橘子和梨的價格分別為每斤 0.10、0.15 和 0.10，而商店 B 中蘋果、橘子和梨的價格分別為 0.15、0.20、0.10。現(xiàn)問: （1）每個商店每個人購買水果的費(fèi)用是多少？（2）每個城鎮(zhèn)每種水果的購買量是多少？解：（1）商店 A：人員 A 購買水果的費(fèi)用為：人員 B 購買水果的費(fèi)用為：?

5、??? ?? ?? ? ???? ? ???? ??? ?? ? 10 . 205 . 365 . 130 . 210 . 020 . 015 . 010 . 015 . 010 . 05351045 D? ??? ?? ?? ??? ?? ? ??? ?? ?110005500250001250014000700053510451000 2000500 1000 E30 . 2 10 . 0 3 15 . 0 10 10 . 0 5

6、? ? ? ? ? ?65 . 1 10 . 0 5 15 . 0 5 10 . 0 4 ? ? ? ? ? ?梨 橘子 蘋果5 10 34 5 5? ?? ? ? ? BA人員人員B A 人員 人員? ??? ??10005002000100021城鎮(zhèn)城鎮(zhèn)案例三 案例三某工廠檢驗(yàn)室有甲乙兩種不同的化學(xué)原料，甲種原料分別含鋅與鎂 10%與20%，乙種原料分別含鋅與鎂 10%與 30%，現(xiàn)在要用這兩種原料分別配制 AB兩種試劑，A 試劑需

7、含鋅鎂各 2 克，5 克，B 試劑需含鋅鎂各 1 克，2 克.問配 制 AB 兩種試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各多少克？ 解： 設(shè)配制 A 試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為 x，y 克；配制 B 試劑需甲乙兩種化學(xué)原料分別為 s，t 克；根據(jù)題意，得如下矩陣方程0.1 0.1 2 10.2 0.3 5 2x sy t? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?設(shè) ， 則 ， 0.1 0.1 2 1 , , 0.

8、2 0.3 5 2x s A X B y t? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 X A B ? ?下面用初等行變換求 ， 1 A?1 2 1 1 2210 2100.1 0.1 1 0 1 1 10 0 1 1 10 0 1 0 30 100.2 0.3 0 1 2 3 0 10 0 1 20 10 0 1 20 10r r r r rr? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

9、? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即 ， 1 30 1020 10 A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?所以 30 10 2 1 10 1020 10 5 2 10 0x s X y t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?即配制 A 試劑分別需要甲乙兩種化學(xué)原料各 10 克，配制 B 試劑需甲乙

10、兩種化學(xué)原料分別為 10 克，0 克.案例四 案例四一百貨商店出售四種型號的 T 衫：小號，中號，大號和加大號.四種型號的T 衫的售價分別為：22 元，24 元，26 元，30 元.若商店某周共售出了 13 件 T 衫，毛收入為 320 元.已知大號的銷售量為小號和加大號銷售量的總和，大號的 銷售收入也為小號和加大號銷售收入的總和，問各種型號的 T 衫各售出多少件？解 設(shè)該 T 衫小號，中號，大號和加大號的銷售量分別為 ，由 ( 1,