線性代數(shù)及其應(yīng)用

1、線性代數(shù)及其應(yīng)用,,密碼問題,密碼問題,矩陣密碼法是信息編碼與解碼的技巧，其中的一種是基于利用可逆矩陣的方法。先在26個英文字母與數(shù)字間建立起一一對應(yīng)，例如,若要發(fā)出信息“SEND MONEY”，使用上述代碼，則此信息的編碼是19，5，14，4，13，15，14，5，25，其中5表示字母E.,我們利用矩陣乘法來對“明文”SEND MONEY進(jìn)行加密，讓其變成“密文”后再行傳送，以增加破譯的難度。若矩陣A的元素均為整數(shù)，而且其行

2、列式|A|=±1，那么由 A-1=A*/|A| 可知，A-1的元素均為整數(shù)。我們可以利用這樣的矩陣A來對明文加密?，F(xiàn)在取,,,射雕英雄傳,第二十九回　黑沼隱女,黃蓉被裘千仞打傷，郭靖帶黃蓉去求見一燈大師療傷。在半途的一個沼澤中遇到瑛姑。當(dāng)時瑛姑正在做籌算。金庸寫道：,她（瑛姑）雙目直瞪黃蓉，忽然手指內(nèi)室，說道：“跟我來。”拿起一盞油燈，走了進(jìn)去。郭靖扶著黃蓉跟著過去，只見那內(nèi)室墻壁圍成圓形，地下滿鋪細(xì)沙，沙上畫著許多橫直符

3、號和圓圈，又寫著些“太”、“天元”、“地元”、“人元”、“物元”等字。,郭靖看得不知所云，生怕落足踏壞了沙上符字，站在門口，不敢入內(nèi)。黃蓉自幼受父親教導(dǎo)，頗精歷數(shù)之術(shù)，見到地下符字，知道盡是些術(shù)數(shù)中的難題，那是算經(jīng)中的“天元之術(shù)”，雖然甚是繁復(fù)，但只要一明其法，也無甚難處。,按：上述天元之術(shù)即今日代數(shù)中線性方程組，我國古代算經(jīng)中，天、地、人、物四字即相當(dāng)于今天代數(shù)中的 x、y、z、w 四個變量。,無疑，金庸先生認(rèn)為消元法是很簡單的。當(dāng)然

4、金庸又說了郭靖是不知所云的。,劍橋減肥食譜問題,劍橋減肥食譜問題,劍橋食譜是一種在20世紀(jì)80年代曾經(jīng)很流行的食譜，是由Alan H. Howard領(lǐng)導(dǎo)的科學(xué)家團(tuán)隊在劍橋大學(xué)經(jīng)過8年對過度肥胖病人的臨床研究得到的。這種低熱量的粉狀食品精確地平衡了碳水化合物、高質(zhì)量的蛋白質(zhì)和脂肪、維生素、礦物質(zhì)、微量元素和電解質(zhì)。為得到所希望的數(shù)量和比例的營養(yǎng)，Howard在食譜中加入了多種食品。每種食品供應(yīng)了多種所需要的成分。,脫脂牛奶是蛋白質(zhì)的主要來

5、源，但包含過多的鈣，因此大豆粉用來作為蛋白質(zhì)的來源，它包含較少量的鈣。然而大豆粉包含過多的脂肪，因而加上乳清，因乳清含脂肪較少，然而乳清又含有過多的碳水化合物… 在這里我們把問題簡化，看看這個問題在小規(guī)模下的情形。表1是該食譜中的3種食物，以及每種食物100克所含有的各種營養(yǎng)成分。,如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應(yīng)各取多少才能全面準(zhǔn)確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？,以100克為一個單位，為了保證減肥所要求的每日

6、營養(yǎng)量，設(shè)每日需食用的脫脂牛奶x1個單位，大豆面粉x2個單位，乳清x3個單位，則由所給條件得,網(wǎng)絡(luò)流問題,網(wǎng)絡(luò)流問題 當(dāng)科學(xué)家、工程師或者經(jīng)濟(jì)學(xué)家研究一些數(shù)量在網(wǎng)絡(luò)中的流動時自然推導(dǎo)出線性方程組。例如，城市規(guī)劃和交通工程人員監(jiān)控一個網(wǎng)絡(luò)狀的市區(qū)道路的交通流量模式；電氣工程師計算流經(jīng)電路的電流；以及經(jīng)濟(jì)學(xué)家分析通過分銷商和零售商的網(wǎng)絡(luò)從制造商到顧客的產(chǎn)品銷售。許多網(wǎng)絡(luò)中的方程組涉及成百甚至上千的變量和方程。 一個網(wǎng)絡(luò)包

7、含一組稱為接合點或節(jié)點的點集，并由稱為分支的線或弧連接部分或全部的節(jié)點。流的方向在每個分支上有標(biāo)示，流量（速度）也有顯示或用變量標(biāo)記。,網(wǎng)絡(luò)流的基本假設(shè)是全部流入網(wǎng)絡(luò)的總流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的總流量，且全部流入一個節(jié)點的流量等于全部流出此節(jié)點的流量。于是，對于每個節(jié)點的流量可以用一個方程來描述。網(wǎng)絡(luò)分析的問題就是確定當(dāng)局部信息（如網(wǎng)絡(luò)的輸入）已知時，求每一分支的流量。,電路問題,,電路問題,在工程技術(shù)中所遇到的電路，大多數(shù)是很復(fù)雜的，這

8、些電路是由電器元件按照一定方式互相連接而構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)。在電路中，含有元件的導(dǎo)線稱為支路，而三條或三條以上的支路的會合點稱為節(jié)點。電路網(wǎng)絡(luò)分析，粗略地說，就是求出電路網(wǎng)絡(luò)種各條支路上的電流和電壓。對于這類問題的計算，通常采用基爾霍夫（Kirchhoff）定律來解決。以圖-2所示的電路網(wǎng)絡(luò)部分為例來加以說明。,于是求各個支路的電流就歸結(jié)為下面齊次線性方程組的求解,,,,,其中:,解之，得其解為,聯(lián)合收入問題,聯(lián)合收入問題,已知三家公司X,Y,

9、Z具有下圖所示的股份關(guān)系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另兩家公司控制等等。,現(xiàn)設(shè)X，Y和Z公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入、試確定各公司的聯(lián)合收入及實際收入。,現(xiàn)代飛行器外形設(shè)計,把飛行器的外形分成若干大的部件，每個部件沿著其表面又用三維的細(xì)網(wǎng)格劃分出許多立方體，這些立方體包括了機(jī)身表面

10、以及此表面內(nèi)外的空氣。對每個立方體，列出其空氣動力學(xué)方程，其中包括了與它相鄰的立方體的共同邊界變量，這些方程通常都已經(jīng)簡化為線性方程。對一個飛行器，小立方體的數(shù)目可以多達(dá)400,000個，而要解的聯(lián)立方程可能多達(dá)2,000,000個。,生態(tài)系統(tǒng),項 表示由于貓頭鷹的捕食所引起的老鼠的死亡數(shù)量（事實上，一個貓頭鷹每月平均吃掉1000p只老鼠）。當(dāng)p=0.325時，預(yù)測該系統(tǒng)的發(fā)展趨勢。,也就是說，對應(yīng)每6只貓頭鷹，

11、大約有13000只老鼠。,幾何意義,幾何意義,二元一次方程在幾何上表示的是一根直線，則2個二元一次方程組在幾何上則表示兩根直線的位置關(guān)系： 相交====〉有惟一解 平行====〉無解 重合====〉無窮多解 例 求解下列3個線性方程組 （a）

12、 （b） （c）,若有三個二元一次方程或更多個數(shù)的二元一次方程，代數(shù)上稱之為 “超定方程”，一般是不相容的和無解的，幾何中平面上三根或更多根直線很難交于一點。 例 求解方程組 圖解,例3 求解下列線性方程組，并畫出三維圖形來表示解的情況。（1）

13、 ； （2） ；（3） ； （4）,,,,,圖3 三元非齊次線性方程組解的幾何意義,從圖3中可以看出： 方程組（1）的解為三個平面的交點，故該方程組有 唯一解； 方程組（2）的三個平面剛好相交于同一條直線，這個齊次線性方程組有無窮多解，即解空間是一維的。 方程組（3）的三個平面沒有共同的交點。即方程組無

14、解。 方程組（4）也無解。,平板穩(wěn)態(tài)溫度的計算,在鋼板熱傳導(dǎo)的研究中，常常用節(jié)點溫度來描述鋼板溫度的分布。例 假設(shè)圖1中鋼板已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度分布，上下、左右四個邊界的溫度值如圖所示，而表示鋼板內(nèi)部四個節(jié)點的溫度。若忽略垂直于該截面方向的熱交換，那么內(nèi)部某節(jié)點的溫度值可以近似地等于與它相鄰四個節(jié)點溫度的算術(shù)平均值，如。請計算該鋼板的溫度分布。,,圖1 平板的溫度分布解：根據(jù)已知條件可以得到以下線性方程組：化簡為標(biāo)