數(shù)學(xué)建模試題（帶答案）四

1、數(shù)學(xué)建模部分課后習(xí)題解答1.在穩(wěn)定的椅子問(wèn)題中，如設(shè)椅子的四腳連線呈長(zhǎng)方形，結(jié)論如何？解：模型假設(shè) 模型假設(shè)（1） 椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面接觸處視為一點(diǎn)，四腳的連線呈長(zhǎng)方形（2） 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒(méi)有像臺(tái)階那樣的情況） ，即從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，地面是連續(xù)曲面。這個(gè)假設(shè)相當(dāng)于給出了椅子能放穩(wěn)的必要條件（3） 椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。為了保證這一點(diǎn)，要求對(duì)于椅腳的間距和椅腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)

2、平坦的。因?yàn)樵诘孛嫔弦文_間距和椅腿長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，如果出現(xiàn)深溝或凸峰（即使是連續(xù)變化的） ，此時(shí)三只腳是無(wú)法同時(shí)著地的。模型建立 模型建立在上述假設(shè)下，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于選擇合適的變量，把椅子四只腳同時(shí)著地表示出來(lái)。首先，引入合適的變量來(lái)表示椅子位置的挪動(dòng)。生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要把椅子通過(guò)挪動(dòng)放穩(wěn)，通常有拖動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)椅子兩種辦法，也就是數(shù)學(xué)上所說(shuō)的平移與旋轉(zhuǎn)變換。然而，平移椅子后問(wèn)題的條件沒(méi)有發(fā)生本質(zhì)變化，所以用平移的辦法是不能

3、解決問(wèn)題的。于是可嘗試將椅子就地旋轉(zhuǎn)，并試圖在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中找到一種椅子能放穩(wěn)的情形。注意到椅腳連線呈長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱圖形，繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn) 180 度后，椅子仍在原地。把長(zhǎng)方形繞它的對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)，這可以表示椅子位置的改變。于是，旋轉(zhuǎn)角度 這一變量就表示了椅子的位置。為此，在平面上建立直角坐標(biāo)系來(lái)解 ?決問(wèn)題。設(shè)椅腳連線為長(zhǎng)方形 ABCD,以對(duì)角線 AC 所在的直線為 x 軸，對(duì)稱中心 O 為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系。椅子繞 O

4、點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度 后，長(zhǎng)方形 ABCD 轉(zhuǎn)至 ?A1B1C1D1 的位置，這樣就可以用旋轉(zhuǎn)角 表示出椅子繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn) 后 ） 0 （ ? ? ? ? ? ?的位置。其次，把椅腳是否著地用數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)。當(dāng)椅腳與地面的豎直距離為零時(shí)，椅腳就著地了，而當(dāng)這個(gè)距離大于零時(shí)，椅腳不著地。由于椅子在不同的位置是 的 ?函數(shù)，因此，椅腳與地面的豎直距離也是 的函數(shù)。 ?符號(hào)說(shuō)明 符號(hào)說(shuō)明：代表人的狀態(tài)，人在該左岸或船上取值為 1，否則為

5、0; 1 X：代表貓的狀態(tài)，貓?jiān)谠撟蟀痘虼先≈禐?1，否則為 0； 2 X：代表雞的狀態(tài)，雞在該左岸或船上取值為 1，否則為 0； 3 X：代表米的狀態(tài)，米在該左岸或船上取值為 1，否則為 0:； 4 X:狀態(tài)向量，代表時(shí)刻 K 左岸的狀態(tài)； ) , , , ( 4 3 2 1 X X X X Sk ?:決策向量，代表時(shí)刻 K 船上的狀態(tài)； ) , , , ( 4 3 2 1 X X X X Dk ?模型建立 模型建立限制條件：? ?

6、 ?? ?? ? ? ?22 04 33 21 X XX X X初始狀態(tài)： ) 0 ， 0 ， 0 ， 0 ( ), 1 ， 1 ， 1 ， 1 ( 0 0 ? ? D S模型求解 模型求解根據(jù)乘法原理，四維向量 共有 種情況根據(jù)限制條件可以排 ） , , , （ 4 3 2 1 X X X X 16 24 ?除 三種情況，其余 13 種情況可以歸入兩個(gè)集合進(jìn)行分配， ） 1 , 1 , 0 , 0 ）（ 1 ， 0 , 1 ， 0 ）

7、（ 1 , 1 , 1 , 0 （易知可行決策集僅有五個(gè)元素 ,狀 ? ? ) 0 ， 0 , ， 0 ， 0 ( ), 0 ， 0 ， 0 ， 1 ( ), 1 ， 0 ， 0 ， 1 ( ), 0 ， 1 ， 0 ， 1 ( ), 0 ， 1 ， 1 ， 1 ( ? D態(tài)集有 8 個(gè)元素，將其進(jìn)行分配，共有兩種運(yùn)送方案：方案一：人先帶雞過(guò)河，然和人再回左岸，把米帶過(guò)右岸，人再把雞運(yùn)回左岸，人再把貓帶過(guò)右岸，最后人回來(lái)把雞帶去右岸（狀