十種題型搞定多面體的外接球-內切球問題

1、 十種題型搞定多面體的外接球，內切球問題題型一 題型一 直角四面體的外接球 直角四面體的外接球 補成長方體，長方體對角線長為球的直徑 補成長方體，長方體對角線長為球的直徑1．三棱錐 P ABC ? 中， ABC ? 為等邊三角形， 2 PA PB PC ? ? ? ， PA PB ? ，三棱錐 P ABC ? 的外接球的表面積為（ ）A． 48? B．12?

2、 C． 4 3? D．32 3?2.在正三棱錐 中， 分別是 的中點， ，若 ，則 外接 A BCD ? , E F , AB BC EF DE ? 2 BC ? A BCD ?球的表面積為A B C D ? 2? 3? 4?3.在正三棱錐 中， 分別是 的中點，且 ，若側棱 ，則正三 S ABC ? , M N , SC BC MN AM ? 2 3 SA ?棱錐 外接球的表面積為

3、 S ABC ?A B C D 12? 32? 36? 48?4.（2019 全國 1 理 12） ．已知三棱錐 P?ABC 的四個頂點在球 O 的球面上，PA=PB=PC，△ABC 是邊長為 2 的正三角形，E，F 分別是 PA，AB 的中點，∠CEF=90°，則球 O 的體積為A． B．C． D． 6 8 ? 6 4 ? 6 2 ? 6?5.設 A，B，C，D 是半徑為 2 的球面上的四個不同點，且滿足 &#

4、183; ＝0， · ＝0， · ＝0，用 AB →AC →AD →AC →AB →AD →S1、S2、S3 分別表示△ABC、△ACD、△ABD 的面積，則 S1＋S2＋S3 的最大值是________．題型二 題型二 等腰四面體的外接球 等腰四面體的外接球 補成長方體，長方體相對面的對角線為等腰四面體的相對棱 補成長方體，長方體相對面的對角線為等腰四面體的相對棱1．在四面體 中，若 ， ， ，則四面體 的外接

5、球的 ABCD 3 AB CD ? ? 2 AC BD ? ? 5 AD BC ? ? ABCD表面積為 ( )A．B． C． D． 2? 4? 6? 8?四點在半徑為 的球面上，且 ， ， ，則三 A B C D ，，， 22 5 5 AC BD ? ? 41 AD BC ? ? AB CD ?棱錐 的體積是____________． D ABC ?3.在三棱錐 S﹣ABC 中，底面△ABC 的每個頂點處的三條棱兩兩所成的角之

6、和均為 180°，△ABC 的三條邊長分別為 AB= ，AC= ，BC= ， 則三棱錐 的體積（ ） 3 5 6 ABC S ?A．B． C．D． 2 2 10 2 32 2 34題型三 題型三 有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐 有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐 ，球心在公共斜邊的中點處 ，球心在公共斜邊的中點處1.在矩形 中， ＝4， ＝3，沿 將矩形 折成一個直二面角 ，則四面 ABCD AB BC AC

7、 ABCD D AC B ? ?體 的外接球的體積為 ABCDA. B.C.D. ? 12125 ? 9125 ? 6125 ? 31252.三棱錐 的所有頂點都在球 的球面上，且 ， ，則該球 S ABC ? O 2 2 SA AC SB BC ? ? ? ? 4 SC ?的體積為A B C D 2563 ? 323 ? 16? 64?3．在四面體 中， ，二面角 的余弦值是 S ABC ? , 2,

8、2 AB BC AB BC SA SC ? ? ? ? ? S AC B ? ?，則該四面體外接球的表面積是（ ） 33 ?A.B．C．D． 8 6? 6? 24? 6?∴cosθ= ，sinθ= ．在△DMN 中，DM= =1，DN=3132 3 32 ? DP由余弦定理得31 3 1 2 3 1 ? ? ? ? ? ? MN 2 ?∴四邊形 DMON 的外接圓的半徑 ．故球 O 的半徑 故選：D． 3 sin ? ? ?MN

9、OD 3 ? R題型六 題型六 一般棱錐的外接球問題 一般棱錐的外接球問題1.（2017 宜賓模擬）已知點 A 是以 BC 為直徑的圓 O 上異于 B，C 的動點，P 為平面 ABC 外一點，且平面 PBC⊥平面 ABC，BC＝3，PB＝ ，PC＝ ，則三棱錐 P﹣ABC 外接球的表面積為 10π ． 2 2 5解：因為 O 為△ABC 外接圓的圓心，且平面 PBC⊥平面 ABC，過 O 作面 ABC 的垂線 l，則垂線 l 一定在

10、面 PBC 內，根據球的性質，球心一定在垂線 l，∵球心 O1 一定在面 PBC 內，即球心 O1 也是△PBC 外接圓的圓心，在△PBC 中，由余弦定理得 cosB＝ ，?sinB＝ ，2 2 2 22 2PB BC PCBP BC? ? ? A22由正弦定理得： ，解得 R＝ ，∴三棱錐 P﹣ABC 外接球的表面積為 s＝4πR2＝10π， 2 sinPC R B ? 102故答案為：10π．2.在三棱錐 中， ,側棱 與底面 所成