內(nèi)切球和外接球例題

1、高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、直接法一、直接法(公式法公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長為若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為______________.27?.例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為，則該球的體積為___

2、___________.43?.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為頂點上的三條棱長分別為123，則此球的表面積為，則此球的表面積為.14?.例4、（2006年全國卷年全國卷I）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為）已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體，體積為積為16，則這個球的表面積為（，

3、則這個球的表面積為（）.C.A.16?B.20?C.24?D.32?3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為３，則這個球的，底面周長為３，則這個球的98體積為體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長為，高為，則有xh∴正六棱柱的底面圓的半徑，

4、球心到底面26312936384xxxhh????????????????12r?的距離.∴外接球的半徑..32d?221Rrd???43V???球二、構(gòu)造法二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是，則其外接球的表面積是_______________.9?解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂

5、直，∴把這個三棱錐可以補(bǔ)成一個棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外3接球的半徑為，則有.∴.故其外R????????222223339R????294R?接球的表面積.249SR????小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為，則就可以將這個三棱錐補(bǔ)成一個長方體，于是長方體的體對角線的abc、、長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有R.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體。2

6、222Rabc???【例題例題】：在四面體：在四面體中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積。解：因為：長方體外接球的直徑為長方體的體對角線長所以：四面體外接球的直徑為的長即：所以球的表面積為例6.一個四面體的所有棱長都為一個四面體的所有棱長都為2，四個頂點在同一球面上，則此球的，四個頂點在同

7、一球面上，則此球的表面積為（表面積為（）A.3?B.4?C.33?D.6?四.尋求軸截面圓半徑法尋求軸截面圓半徑法例11.正四棱錐正四棱錐的底面邊長和各側(cè)棱長都為的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點，點SABCD?2都在同一球面上，則此球的體積為都在同一球面上，則此球的體積為.SABCD、、、、解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖11OO所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得.1OOABCD?平面又，∴球心必在所在的直線上.1SOABCD?平

8、面O1SO∴的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球?的半徑.在中，由，得.∴?22SASCAC???，222SASCAC??.∴是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.AC??是以為斜邊的Rt12AC?故.43V??球五.確定球心位置法確定球心位置法例11.在矩形在矩形中，中，，沿，沿將矩形將矩形折成一個折成一個ABCD43ABBC??ACABCD直二面角直二面角，則四面體，則四面體的外接球的體積為的外接球的體積為BACD?

9、?ABCDA.B.C.D.12512?1259?1256?1253?解設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知O.∴點到四面體的四個頂點的距離相等，OAOBOCOD???OABCD、、、即點為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑.故O52ROA??.選C.3412536VR????球【例題例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球：已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，的球面上，且，，，求球求球的體積。的體積。解：且，，，因為所以知所以