內切球與外接球習題講義教師版

1、1立體幾何中的立體幾何中的“內切內切”與“外接外接”問題的探究問題的探究1球與柱體球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.11.1球與正方體球與正方體如圖1所示，正方體設正方體的棱長為，為1111DCBAABCD?aGHFE棱的中點，為球的球心。O常見組合方式有三類：一是球為正方體的內切球，截面圖為正

2、方形和其內切圓，則；EFHG2arOJ??二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則EFHG；aROG22??三是球為正方體的外接球，截面圖為長方形和其外接圓，則11AACC.231aROA??通過這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題。例1棱長為1的正方體1111ABCD

3、ABCD?的8個頂點都在球O的表面上，EF，分別是棱1AA，1DD的中點，則直線EF被球O截得的線段長為（）A22B1C212?D21.21.2球與長方體球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為abc其體對角線為l.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑222.22labcR????3正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存

4、在外接球，也存在內切球，并且正四面體作為一個規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內切球，并且兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關系。兩心合一，利用這點可順利解決球的半徑與正四面體的棱長關系。如圖如圖4，設正四面體，設正四面體的棱長為的棱長為，內切球半徑為，內切球半徑為，外接球的半徑，外接球的半徑ABCS?ar為R，取的中點為，為在底面的射影，連接為正四面體ABDESSESDCD的高。在截面三角形作一個與邊和相切，圓心在

5、高上的圓，SDCSDDCSE即為內切球的截面。因為正四面體本身的對稱性可知，外接球和內切球的球心同為。此時，O則有則有2222233aRraRrCE????，=，解得：3332aCEaSErOEROSCO?????66.412Rara??這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題帶來極大的方便.例4將半徑都為１的四個鋼球完全

6、裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為()A.3263?B.2263C.4263D.43263?球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.]2.22.2球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形法，即把三棱柱補形成正方體或者長方體。常見兩種形式：一是三棱