初中幾何代數(shù)化教學(xué)的思考_——基于圓中角轉(zhuǎn)化問題

1、初中幾何代數(shù)化教學(xué)的思考 —— —基于圓中角轉(zhuǎn)化問題羅燕婷（廈門外國語學(xué)校瑞景分校， 福建 廈門， 361008）DOI： 10.16681/j.cnki.wcqe.202206059作者簡介： 羅燕婷 （1995— ） ， 女， 漢族， 福建三明人， 二級教師。研究方向： 數(shù)學(xué)教育。摘要： 為了提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)， 文章基于圓中角轉(zhuǎn)化問題， 對初中幾何代數(shù)化教學(xué)進行了思考， 并提出了相關(guān)建議， 包括深化理解， 把握聯(lián)系； 豐富策略， 擴

2、展思維； 滲透思想， 提升素養(yǎng)。關(guān)鍵詞： 圓中角轉(zhuǎn)化； 幾何代數(shù)化； 初中數(shù)學(xué)中圖分類號： G633.6 文獻標志碼： A 文章編號： 2095- 6401(2022)06- 0186- 04《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準 （2011 年版） 》 （以下簡稱《課程標準》 ） 指出： “建立數(shù)感、 符號意識和空間觀念， 初步形成幾何直觀和運算能力， 發(fā)展形象思維與抽象思維是數(shù)學(xué)目標之一。符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、 數(shù)量關(guān)系和變化

3、規(guī)律； 知道使用符號可以進行運算和推理， 得到的結(jié)論具有一般性?！?[1]在涉及圓的初中幾何教學(xué)過程中，教師可以滲透代數(shù)設(shè)元思想，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識， 以數(shù)助形， 加強學(xué)生的符號意識，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)。下面本文擬基于圓中角轉(zhuǎn)化問題， 對初中幾何代數(shù)化教學(xué)加以思考。一、 問題起源（一） 呈現(xiàn)例 1： 如圖 1 所示， 四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O， AB=AC， BD⊥AC， 垂足為 E， 點 F 在 BD 的延長線上， 且 DF=D

4、C， 連接 AF、 CF， 求證∠BAC=2∠DAC。圖 1 示意圖（二） 分析本題是福建省 2019 年的一道中考題， 作為一道以圓為背景的幾何綜合壓軸題， 該題題目簡約， 圖形復(fù)雜，問題層層遞進。其中， 第一小問屬于常規(guī)的有關(guān)圓中角的轉(zhuǎn)化問題， 考查學(xué)生對圓的基本性質(zhì)和角的認識及轉(zhuǎn)化能力。在進行圓周角定理教學(xué)過程中， 筆者將該題第一小問作為課堂教學(xué)問題， 本以為學(xué)生能夠快速得出答案， 結(jié)果卻出乎筆者意料， 全班有很大一部分學(xué)生沒能快

5、速求解出來或書寫過程煩瑣、 復(fù)雜。那么， 問題出在哪里呢？這是因為學(xué)生在圓周角之間繞來繞去， 無法聚焦基本圖形。對此， 筆者在教學(xué)過程中， 先進行讀題、 識圖、 標記，讓學(xué)生從結(jié)論出發(fā)， 求兩個角的兩倍數(shù)量關(guān)系。具體而言， 筆者先通過問題進行引領(lǐng) “問題 1： ∠BAC、 ∠DAC 是圓中什么位置的角？ 如何轉(zhuǎn)化， 轉(zhuǎn)化哪一個角？ 問題 2： 請同學(xué)們思考， ∠BAC=2∠DAC 意味要構(gòu)造角的數(shù)量關(guān)系， 那么如何構(gòu)造關(guān)于角的等量關(guān)系？

6、 聚焦在哪些基本圖形？” 對此， 讓學(xué)生識別∠BAC、 ∠DAC 是圓周角， 可以通過同弧所對的圓周角相等進行轉(zhuǎn)化， 也就是∠DAC=∠DBC，再從題目條件聚焦在∠BAC 所在的等腰三角形△ABC 上， 接著利用 AB=AC 得到∠ABC=∠ACB， 然后通過設(shè)∠DAC=x， 三角 形 內(nèi) 角 和 的 180°等 量 關(guān) 系 得 到∠BAC=2x， 所以∠BAC=2∠DAC， 如圖 2 所示圖 2 示意圖概言之， 在平面幾何教

7、學(xué)過程中， 如果教師可以將代數(shù)方法滲透其中， 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件和圖形的特征，通過設(shè)元， 聚焦基本圖形， 深挖蘊含在基本圖形或是題目條件中的隱含條件， 并基于以往的直觀感知和知識積累，利用圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程模型， 那么所有問題最終都會迎刃而解。二、 深度探究（一） 設(shè)元法人教版九年級上冊數(shù)學(xué)教材中 “圓” 安排在第 24 章，要求學(xué)生探索圓周角及其所對弧的關(guān)系， 了解并證明圓周角定理及其推論： 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓

8、心角度數(shù)的一半； 直徑所對的圓周角是直角； 90°的圓周角所對的弦是直徑； 圓內(nèi)接四邊形的對角互補。 這部分知西部素質(zhì)教育 2022 年 3 月第 8 卷第 6 期萬方數(shù)據(jù)點并垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線與過切點的直徑之間的關(guān)系和切線的判定， 多數(shù)是以證明題的形式或是判定之后再證明出現(xiàn)的。這部分題目往往將圓與其他知識整合， 進行綜合考查， 如三角形、 全等、 相似、 銳角三角函數(shù)、 坐標系等。這道例題綜合考查了等腰三角

9、形的性質(zhì)， 直徑所對的圓周角是直角， 由此， 通過角位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化可得到∠ABD+∠D=90°的數(shù)量關(guān)系。此題就是通過將幾何問題代數(shù)化， 通過引入?yún)?shù)， 設(shè)而不求， 整體代換， 得到∠ABD+∠D=x+y=90°， 這能方便計算和厘清思路。在整個過程中， 將數(shù)形結(jié)合， 先讀題識圖標量，分析思路， 聚焦到基本圖形等腰三角形△DAF、 直角三角形△CBF， 然后利用圖形的基本性質(zhì)， 等腰三角形三線合一和三角形內(nèi)角和 18

10、0°設(shè)元， 轉(zhuǎn)化或構(gòu)造等量關(guān)系進行求解， 就能很好地將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。圖 6 示意圖 圖 7 示意圖數(shù)學(xué)知識并不是孤立、 單一存在的， 而是相互之間聯(lián)系形成一個知識體系。在日常教學(xué)中， 要想促進學(xué)生思考， 提升學(xué)生數(shù)學(xué)綜合解題能力， 綜合訓(xùn)練不可缺少。因此在平常教學(xué)中， 教師要做有心人， 要將相關(guān)的知識點通過數(shù)學(xué)問題組合在一起，讓學(xué)生能夠舉一反三， 融會貫通， 并將相應(yīng)的題型進行梳理， 將解題技巧進行總結(jié)， 如幾何問題

11、代數(shù)化， 或者運用代數(shù)的方法和思想進行求解， 實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合， 抓住問題的本質(zhì)， 將知識的運用融為一體， 靈活運用， 避免死記硬背， 這有利于訓(xùn)練學(xué)生綜合思維能力， 優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。三、 建議初中幾何問題的研究往往是研究幾何要素和相關(guān)要素之間的關(guān)系。在日常教學(xué)活動中， 教師用整體視角解析教學(xué)內(nèi)容及其蘊含的思想方法， 可以解決 “教什么”的問題， 且有助于在教學(xué)中明確內(nèi)容的知識體系和蘊含的思想方法， 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)， 進而有助于

12、突出重點， 落實數(shù)學(xué)的育人任務(wù)[2]。對于圓的研究， 要著眼于問題的解決， 梳理知識體系， 包括圓心、 半徑、 與圓有關(guān)的線段 （直徑、 弦、 切線等） 、 角 （如圓心角、 圓周角等） 及彼此間的關(guān)系。對于圓中角轉(zhuǎn)化的問題， 可以弧定角， 在變中尋找不變量， 聚焦基本圖形， 重視幾何圖形的性質(zhì)，尤其是蘊含在基本圖形中的數(shù)量關(guān)系，接著通過設(shè)元，以數(shù)助形進行突破， 從而解決問題?！墩n程標準》 對 “圓” 的要求主要是認識， 弱化了證明部分

13、， 但是各地區(qū)中考試題依舊會考查圓的相關(guān)證明， 這是由初中生思維發(fā)展的自然規(guī)律決定的， 因為初中生正在經(jīng)歷由具體事例往抽象概括發(fā)展這一過程， 讓其體會通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論， 運用演繹推理加以證明， 可使其具備相應(yīng)的幾何推理能力。中考試題對 “圓” 的考查基本符合 《課程標準》 的要求， 即在考查基礎(chǔ)知識的同時， 兼顧對學(xué)生思維能力的考查， 基于此， 在日常教學(xué)中， 數(shù)學(xué)教學(xué)活動要注重課程目標的整體實現(xiàn)。（一） 深化理解， 把握聯(lián)系近

14、幾年的中考試題越來越注重對學(xué)生基本知識的考查， 以及基本技能和數(shù)學(xué)能力的考查， 主要通過數(shù)學(xué)概念、定理的綜合， 讓學(xué)生靈活運用相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)定理對問題進行拆分、 整理、 求解。對于初中幾何中有關(guān)角的問題向代數(shù)轉(zhuǎn)化這類問題也不例外， 對此， 教師需要加強例題教學(xué)及習(xí)題課設(shè)計。常規(guī)的習(xí)題課教學(xué)往往以教師為主， 即教師僅僅對相關(guān)的知識點進行回顧， 然后配套相應(yīng)練習(xí)， 在學(xué)生完成教師課前搜集整理的一系列習(xí)題后，教師再進行講解評析， 要求學(xué)

15、生聆聽糾錯。在整個學(xué)習(xí)過程中， 學(xué)生一直在被動地學(xué)習(xí)， 機械地做題， 片面地鞏固一系列解題的技能技巧， 很少對問題的產(chǎn)生、 證明過程予以關(guān)注。對此， 教師在設(shè)計習(xí)題時， 應(yīng)該以題型方式進行呈現(xiàn)， 突出這節(jié)課的重點， 突破難點， 即不僅僅只是側(cè)重單一知識點的強化， 而是引導(dǎo)學(xué)生形成發(fā)現(xiàn)、 提出問題的意識和習(xí)慣， 從而培養(yǎng)和提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的能力。（二） 豐富策略， 擴展思維著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)讀書要先 “由薄到厚” ，再 “由厚到

16、薄” 。 數(shù)學(xué)知識本身是由簡到繁變化發(fā)展的。 教師應(yīng)通過課堂引導(dǎo)學(xué)生梳理聯(lián)想， 再現(xiàn)規(guī)律結(jié)論， 探究新發(fā)現(xiàn)， 生成新問題， 參與知識的變化發(fā)展， 將其系統(tǒng)化、 整體化[3]。幾何是初中數(shù)學(xué)重要的組成部分， 一般幾何問題有眾多解題方法， 其中幾何問題的代數(shù)轉(zhuǎn)化求解是其中的一種擴展性解題方法。在有關(guān)圓的幾何綜合問題中，角的轉(zhuǎn)化往往是其中關(guān)鍵的步驟， 按照有限條件進行幾何推理雖然也可以達到求解目的， 但部分題型用代數(shù)方法進行推理更加簡潔， 而

17、在時間寶貴的考場上提高解題效率是十分重要的。因此，教師在日常教學(xué)中要注意開展問題的多解探析， 引導(dǎo)學(xué)生歸納、 總結(jié)題型及相應(yīng)的解題策略。其中數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方式， 從 “形” 解析， 代 “數(shù)”推理， 可使幾何問題從代數(shù)角度得到解析， 由此充分串聯(lián)各領(lǐng)域的知識， 使學(xué)生體驗它們彼此的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系， 進而促進學(xué)生應(yīng)用、 分析、 創(chuàng)造等高階思維能力的突破與提升， 擴展學(xué)生的解題思維。（三） 滲透思想， 提升素養(yǎng)深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)