源于碰撞和摩擦的不連續(xù)動力系統(tǒng)的周期流研究.pdf

1、機械工程中普遍存在的碰撞和摩擦是兩個或多個物體之間能量轉(zhuǎn)換的基本形式。對實際問題中出現(xiàn)的碰撞和摩擦進行抽象、建模，及動力學(xué)行為的研究有助于更好地理解物體之間產(chǎn)生碰撞和摩擦的機理，進一步為實際操作中控制或利用碰撞及摩擦提供參考。研究碰撞和摩擦的結(jié)果很多，但主要認為其發(fā)生在靜態(tài)域和靜態(tài)邊界上，或用連續(xù)動力系統(tǒng)思想進行研究，因此對于某些實際問題，如機械工程中大量存在的連接問題，研究仍不夠充分。連接的物體之間可能存在間隙和相對運動，因而連接問題

2、中經(jīng)常會出現(xiàn)碰撞和摩擦.碰撞和摩擦使得物體的運動具有較強的不連續(xù)性，所建模型是不連續(xù)動力系統(tǒng).近年來一個研究不連續(xù)動力系統(tǒng)的新理論初步形成，該理論將碰撞和摩擦視為發(fā)生在動態(tài)域和動態(tài)邊界上，從新視角研究其模型，從而可以對模型的動力學(xué)行為進行更好地分析。本文利用這一新理論一不連續(xù)動力系統(tǒng)理論對連接模型進行研究，主要給出斜碰振子和帶摩擦的水平碰撞振子的周期流的有關(guān)研究結(jié)果。論文的主要內(nèi)容如下：
　　1.利用不連續(xù)動力系統(tǒng)的離散映射理論研

3、究斜碰振子只發(fā)生碰撞的周期運動。根據(jù)該振子的實際運動情況定義轉(zhuǎn)換平面及轉(zhuǎn)換平面間的四個基本映射，并給出基本映射的控制方程。利用基本映射給出只發(fā)生碰撞的周期運動的五種運動模式，并進一步對具體周期運動一小球碰矩形斜槽上壁、下壁各一次的周期-1運動、小球碰矩形斜槽下壁一次的周期-1運動和由倍周期分叉引起的小球碰矩形斜槽下壁k次的周期-κ運動一進行研究。利用映射的控制方程得到這些周期運動出現(xiàn)時參數(shù)滿足的關(guān)系式，并對這些周期運動的發(fā)生進行數(shù)值模擬

4、。由此還得到結(jié)論:小球碰矩形斜槽上壁、下壁各一次的對稱周期-1運動在底座的任意N個周期內(nèi)都不存在，并給出其解析證明，文獻[78]中有＃=1時的結(jié)果但沒有給出證明，因此本文的結(jié)論更具有一般性，且揭示了斜碰振子與水平碰撞振子在動力學(xué)行為上的不同本質(zhì).最后利用映射的雅可比矩陣及特征值給出周期運動的穩(wěn)定性和分叉的理論分析結(jié)果，并利用數(shù)值模擬加以驗證。
　　2.利用不連續(xù)動力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論和映射動力學(xué)對斜碰振子的一般周期流進行研究。根據(jù)該

5、振子中碰撞的發(fā)生情況將相空間表示成若干子域及其不連續(xù)邊界之并。利用不連續(xù)邊界上定義的G函數(shù)給出粘合運動發(fā)生、消失及在各邊界上擦邊流出現(xiàn)的充要條件及其解析證明，并用數(shù)值模擬加以驗證。從粘合運動發(fā)生時相角的范圍可以看出該振子在斜槽兩壁上發(fā)生粘合運動的幾率不同，而水平碰撞振子在間隙兩壁上發(fā)生粘合運動的幾率相同，從而揭示斜碰振子與水平碰撞振子在動力學(xué)行為上的又一本質(zhì)區(qū)別.在此基礎(chǔ)上，定義不連續(xù)邊界上具有或不具有粘合運動的基本映射，利用基本映射定

6、義該振子一般周期流的映射結(jié)構(gòu)，進一步利用映射結(jié)構(gòu)的雅可比矩陣及其特征值得到周期流的穩(wěn)定性和分叉的研究結(jié)果。
　　3.利用不連續(xù)動力系統(tǒng)理論對帶摩擦的水平碰撞振子的周期流進行研究.根據(jù)振子中物體的運動情況將相空間分割成若干子域及其邊界，其中根據(jù)邊界的性質(zhì)不同將其分為速度邊界和位移邊界。在每一個子域中定義一個連續(xù)動力系統(tǒng)，相鄰子域的動力系統(tǒng)具有不同的性質(zhì)，從而將該振子抽象成不連續(xù)動力系統(tǒng)。利用不連續(xù)動力系統(tǒng)的流轉(zhuǎn)換理論研究相鄰兩子系統(tǒng)

7、在邊界上流的轉(zhuǎn)換情況，從而對該振子的動力學(xué)行為進行解析預(yù)測，主要給出兩類粘合運動發(fā)生、消失以及速度邊界上擦邊流發(fā)生的充要條件，并得到位移邊界上擦邊流發(fā)生的初步結(jié)果。理論分析和數(shù)值模擬均顯示出摩擦對水平碰撞振子的動力學(xué)行為有很大影響：受摩擦力影響，位移邊界上的第二類粘合運動在第二階段轉(zhuǎn)化為速度邊界上的第一類粘合運動，從而兩類粘合運動具有相同的消失條件；位移邊界上擦邊流的發(fā)生依賴于速度邊界上流的穿越條件是否滿足.這些結(jié)果與不受摩擦影響的水平