第三章知識點(diǎn)總結(jié)矩陣的初等變換與線性方程組

1、第三章 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組 矩陣的初等變換與線性方程組第一節(jié) 第一節(jié) 矩陣的初等變換 矩陣的初等變換初等行變換 初等行變換。 ? ? 1 ( ) i j r r ? 對調(diào)兩行，記作。 ? ? 2 0 ( ) i k r k ? ? 以數(shù)乘以某一行的所有元素，記作。 ? ? 3 ( ) i j k r kr ? 把某一行所有元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去，記作初等列變換： 初等列變換：把初等行變換中的行變?yōu)榱?/p>

2、，即為初等列變換，所用記號是把“r”換成“c” 。擴(kuò)展 擴(kuò)展 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換，初等變換的逆變換仍為初等變換, 且類型相同。矩陣等價 矩陣等價 A B A B 如果矩陣經(jīng)有限次初等變換變成矩陣，就稱矩陣與等價。等價關(guān)系的性質(zhì) 等價關(guān)系的性質(zhì)（1）反身性 A~A2 A ~ B ,B ~ A; （）對稱性若則（課本 P59） 3A ~ B,B ~ C,A ~ C （）傳遞性若則。行階梯形矩陣： 行階梯形矩陣：

3、可畫出一條階梯線，線的下方全為零，每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元，也是非零行的第一個非零元。行最簡形矩陣： 行最簡形矩陣：行階梯矩陣中非零行的第一個非零元為 1，且這些非零元所在的列的其他元素都為 0.標(biāo)準(zhǔn)型 標(biāo)準(zhǔn)型：對行最簡形矩陣再施以初等列變換，可以變換為形如 的矩陣，rm nE O F O O ?? ? ? ? ? ? ?稱為標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是所有與矩陣 A

4、等價的矩陣中形狀最簡單的矩陣。初等變換的性質(zhì) 初等變換的性質(zhì)第二節(jié) 第二節(jié) 矩陣的秩 矩陣的秩矩陣的秩 矩陣的秩 任何矩陣 ，總可以經(jīng)過有限次初等變換把它變?yōu)樾须A梯形，行階梯形 m n A ?矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。 （非零行的行數(shù)即為矩陣的秩）矩陣的秩 矩陣的秩 在矩陣 A 中有一個不等于 0 的 r 階子式 D，且所有 r + 1 階子式(如果存在的話)全等于 0，那么 D 稱為矩陣 A 的最高階非零子式。數(shù) r 稱為矩陣

5、A 的秩，記作 R(A).規(guī)定零矩陣的秩，R(0)=0.說明 說明1. 矩陣 矩陣 Am×n，則 ，則 R(A) ≤min{m,n};2. R(A) = R(AT);3. R(A)≥r 的充分必要條件是至少有一個 的充分必要條件是至少有一個 r 階子式不為零 階子式不為零; 4. R(A)≤r 的充分必要條件是所有 的充分必要條件是所有 r + 1 階子式都為零 階子式都為零.滿秩和滿秩矩陣 滿秩和滿秩矩陣 矩陣 ，若 ，稱

6、A 為行滿秩矩陣；若 ? ? ij m n A a? ? ( ) R A m ?，稱 A 為列滿秩矩陣； 。 ( ) R A n ? , ( ) , A n R A n A ? 若為階方陣且則稱為滿秩矩陣( ) n A R A n ? 若階方陣滿秩，即 0 A ? ? ； 1 A? ? 必存在； A ? 為非奇異陣；, ~ . n n A E A E ? 必能化為單位陣即矩陣秩的求法 矩陣秩的求法定理 定理 1 矩陣 A 經(jīng)過有

7、限次行(列)初等變換后其秩不變。即若 A～B，則 R(A)=R(B)。矩陣 Am×n，經(jīng)過有限次初等行變換可變?yōu)樾须A梯形，則非零行的行數(shù)就是 A 的秩。 （證明課本 P？ ）推論 推論 （課本 P？ ） ( ) ( ) P Q R PAQ R A ? 若、可逆，則矩陣秩的性質(zhì)總結(jié) 矩陣秩的性質(zhì)總結(jié)(1) 0 ( ) min{ , } m n R A m n ? ? ? (2) ( ) ( ) T R A R A ? ? ?