常循環(huán)碼對(duì)偶性質(zhì)研究.pdf

1、循環(huán)碼是一類非常重要的碼。常循環(huán)碼是循環(huán)碼的自然推廣，它保留了循環(huán)碼的幾乎所有良好性質(zhì).對(duì)偶性質(zhì)是編碼理論的重要研究對(duì)象，它在碼的重量結(jié)構(gòu)研究和代數(shù)結(jié)構(gòu)研究等方面都有重要作用.本文主要從三個(gè)不同角度來研究常循環(huán)碼（包括循環(huán)碼）與對(duì)偶相關(guān)的性質(zhì)。
　　本研究主要內(nèi)容包括：⑴推廣歐幾里得內(nèi)積和厄米特內(nèi)積，對(duì)有限域的任意自同構(gòu)，我們引入了伽羅瓦內(nèi)積，我們用統(tǒng)一的方法研究最一般情形的常循環(huán)碼（包括循環(huán)碼，包括重根情形）的伽羅瓦自對(duì)偶性質(zhì).

2、這個(gè)統(tǒng)一的方法包括:定義q-陪集函數(shù)用于刻畫和構(gòu)造常循環(huán)碼，它推廣了半單情形的用零點(diǎn)集刻畫常循環(huán)碼的方法;定義新的保距同構(gòu)，它既適用于半單情形也適用于非半單情形;等等.我們得到一系列關(guān)于伽羅瓦對(duì)偶性與自對(duì)偶性的結(jié)果.特別地，對(duì)有限域的任意自同構(gòu)，給出了伽羅瓦自對(duì)偶常循環(huán)碼以及伽羅瓦自對(duì)偶循環(huán)碼存在的充要條件.這些結(jié)果包括了常循環(huán)碼的歐幾里得對(duì)偶性，厄米特對(duì)偶性的有關(guān)結(jié)果作為特例。⑵推廣duadic循環(huán)碼和Ⅱ-型duadic負(fù)循環(huán)碼的概念

3、，我們引進(jìn)了even-like(也即，Ⅱ-型)和odd-like duadic常循環(huán)碼的概念，并研究它們的一系列性質(zhì)和存在條件.我們證明了even-like duadic常循環(huán)碼是保距自正交的，并且even-like duadic常循環(huán)碼的對(duì)偶碼是odd-like duadic常循環(huán)碼.另外，對(duì)常循環(huán)碼，我們證明了當(dāng)長(zhǎng)度為n的Ⅰ-型duadic對(duì)不存在但Ⅱ-型duadic對(duì)存在時(shí)，Ⅱ-型duadic對(duì)是最大保距自正交的，隨后我們給出了存

4、在even-like duadic常循環(huán)碼的充要條件，并構(gòu)造了一類稱作交錯(cuò)MDS-碼的even-like duadic常循環(huán)碼的例子。⑶引進(jìn)了一類新的保距同構(gòu)來研究循環(huán)碼的自對(duì)偶性，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的保距同構(gòu)都是用模n剩余類Z，n上的乘法置換來構(gòu)造的，稱為乘子，這類保距同構(gòu)無法用于循環(huán)碼保距自對(duì)偶性的研究，我們?cè)谀剩余類Zn上用加法置換定義了一類新的保距自同構(gòu)，稱作平移算子，我們用這種新的方法來研究保距自對(duì)偶循環(huán)碼存在的充要條件，及相關(guān)的性