噪聲擾動下廣義M-J集的分形幾何特征研究.pdf

1、1975年，美籍?dāng)?shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot正式提出了分維和分形的設(shè)想，從復(fù)解析動力系統(tǒng)f(z)=z2+c在復(fù)平面上的幾何圖形開始研究，開創(chuàng)了分形理論這一新的學(xué)科，迅速風(fēng)靡世界。30多年以來，不同學(xué)科、不同領(lǐng)域的科學(xué)家們不斷參與進來，一步步明確分形的概念、完善分形的理論、推廣分形的知識、拓展分形的應(yīng)用，把分形這一來源于自然的數(shù)學(xué)理論滲透到了社會、生產(chǎn)、生活的方方面面。復(fù)解析動力系統(tǒng)f(z)=z2+c在復(fù)平面空間上可以迭代生成2類圖

2、形，分別是分形理論中最經(jīng)典的Mandelbrot集和Julia集。本文將噪聲擾動引入動力系統(tǒng)，重點研究了M-J集受到幾類擾動后的分形特征變化，主要內(nèi)容如下：
　?、攀艿郊有栽肼昺的擾動:考查復(fù)解析動力系統(tǒng)f(z)=zn+c+m在四元數(shù)空間內(nèi)的分形特征。實驗結(jié)果表明，廣義四元數(shù)M集受到加性噪聲擾動后保持了自身拓撲結(jié)構(gòu)的相對穩(wěn)定，但整體沿噪聲方向發(fā)生了位移;廣義四元數(shù)J集受到加性噪聲擾動后在周期性等方面均發(fā)生了較為劇烈的變化，空間內(nèi)任

3、意2個J集都可以通過噪聲相互轉(zhuǎn)換。
　　⑵受到乘性噪聲k的擾動:考查復(fù)解析動力系統(tǒng)f(z)=k*zn+c生四元數(shù)空間內(nèi)的分形特征。實驗結(jié)果表明，廣義四元數(shù)M集受到乘性噪聲擾動后，各個周期域之間的相互位置基本保持不變，同時沿噪聲方向呈現(xiàn)出縮放、旋轉(zhuǎn)等現(xiàn)象，邊界部分出現(xiàn)相互嵌套或分離;廣義四元數(shù)J集受到乘性噪聲擾動后，拓撲結(jié)構(gòu)和周期性均發(fā)生變化，但對噪聲參數(shù)的敏感度卻不相同。
　?、鞘艿接欣碓肼暒?zd的擾動:考查解析動力系統(tǒng)f

4、(z)=zn+λ/zd+c在復(fù)平面空間內(nèi)的分形特征。本文主要討論了當(dāng)c=0的情況，此時該動力系統(tǒng)也被稱做McMullen函數(shù)，實驗結(jié)果表明，McMullen函數(shù)族M-J集在原點附近的一個閉合區(qū)域內(nèi)環(huán)繞分布，區(qū)域內(nèi)稀疏分布著無數(shù)自相似但層級更小的M-J集，分布情況與n值、d值有關(guān);McMullen函數(shù)族Mandelbrot集在不同層級上會發(fā)生周期跳躍現(xiàn)象;McMullen函數(shù)族Julia集在Sierpinski曲線形態(tài)下，圖形內(nèi)部出現(xiàn)新的