高維廣義復空間中M-J混沌分形圖譜的構造與研究.pdf

1、混沌分形理論被認為是繼相對論、量子力學之后，人類認識世界和改造世界的最富有創(chuàng)造性的第三次革命．混沌分形理論的基本思想起源于20世紀初，是一門正在蓬勃發(fā)展的新學科．它描述的是一個充滿創(chuàng)新的、開放性的世界，是一個極其復雜的世界．其研究對象也不再是有著確定性規(guī)律的單一事件，而是伴隨著大量的不確定性和隨機性的動力系統(tǒng)，甚至是人類社會以至宇宙這樣的超級系統(tǒng)．混沌分形理論以全新的自然觀和方法論，為我們描述了一個有序與無序統(tǒng)一的、確定性與隨機性統(tǒng)一的

2、、即自相似又非自相似的、即完全又不完全的、即穩(wěn)定又不穩(wěn)定的世界．這是一個遵循辯證法規(guī)律的和諧統(tǒng)一的世界．今天，混沌分形理論、計算機科學理論的結合，在探索、描述及研究客觀世界的復雜性方面發(fā)揮了巨大作用．其作用涉及到幾乎整個自然科學和社會科學．混沌分形已被認為是研究非線性復雜問題最好的一種語言和工具．并受到各國政府及學者的重視和公認，成為舉世矚目的學術熱點． 在混沌分形理論的形成與發(fā)展過程中，針對具體的問題人們提出了許多特殊的解決辦

3、法．如：幾何化的龐加萊的拓撲動力學、柯爾莫哥洛夫的統(tǒng)計方法、費根鮑姆的重整化群以及數(shù)值化的泛函分析等．這些方法在混沌分形理論的研究中起到了重要作用．隨著人們認識的深入以及理論研究的進展，這些方法也在逐步地完善，并形成一些新的更為有效的方法和手段． 本文在研究過程中所采用的指導思想和方法是導師朱偉勇教授所大力提倡的計算機數(shù)學實驗．這是一個利用數(shù)理統(tǒng)計、拓撲、泛函分析、重正化群、頻譜分析、復數(shù)與超復數(shù)理論(Hamilton四元數(shù))等

4、諸多數(shù)學原理與計算機技術相結合的新方法．利用這一研究方法，在基于復空間中M-J混沌分形圖譜研究的基礎之上，研究高維廣義復空間中的M-J混沌分形圖譜，力求使大量的數(shù)值化的數(shù)學計算與圖形化幾何化的結構分析完美地結合，展現(xiàn)出M-J混沌分形圖在高維廣義復空間中的結構與性質．為更進一步揭示混沌分形的內在本質，以及混沌分形理論在科學領域中的更進一步應用提供研究基礎． 本文的主要工作和創(chuàng)新點包括如下內容： (1)在對復空間以及廣義復空

5、間中Mandelbrot集和Julia集的研究基礎之上，利用四元數(shù)及其性質，將基于參數(shù)平面的Mandelbrot集和基于動力平面Julia集的可構造性推廣到一個高維廣義復空間中，構造了一系列高維空間中Mandelbrot集和Julia集圖像． (2)根據(jù)現(xiàn)有的空間理論以及研究成果，在度量空間和范數(shù)的基礎上建立了基于Hamilton四元數(shù)運算體系上的廣義復數(shù)巴拿赫空間．并在這一空間上，定義了四元數(shù)的M集和J集，為在高維空間中對廣

6、義M集和J集的進一步研究提供了一個初步的研究結果． (3)針對高維空間中的M集，利用四元數(shù)的性質，對四元數(shù)構造的M集的界作出了估計，得到了高維空間中四元數(shù)M集的界，即對于四元數(shù)的f<(m,w)>(q)=q<'m>+w的M集M<,m>有界，其界為四元數(shù)的模不大于m-1平方根2．對于四元數(shù)M集的界進行估計，可以提高計算機程序的效率，特別是在利用逃逸時間算法繪制四元數(shù)M集和四元數(shù)J集的時候，一個有效的界的估計可以大大提高搜索范圍的有效

7、性，從而可以節(jié)省大量的運算時間和存貯空間來得到更為細致的四元數(shù)混沌分形圖譜． (4)基于空間變換的思想，利用單純形坐標體系下的投影變換得到了四維Bannach空間與三維Euclid空間的對應關系，并應用這一對應關系，在國內首次獨立構造了基于單純形投影變換的高維廣義M集和J集，得到了四維空間中四元數(shù)M集與J集在三維空間中的映像．為分形理論在多維動力系統(tǒng)的研究與發(fā)展，提供了一個有益的探討和嘗試． (5)對復空間中的準周期點(

8、Misiurewiz點)和準周期軌道作了深入研究，并將這一研究推廣到了高維空間中．在高維空間中四元數(shù)M集中發(fā)現(xiàn)了周期點、Misiurewiz點的存在，為在高維空間中進一步研究M集的周期點、Misiurewiz點性質作了有益的嘗試． (6)綜述了Fibonacci序列是通向混沌的又一途徑．Fibonacci序列是構成混沌分形圖譜的本質，同時也揭示了混沌分形圖譜拓撲不變性的規(guī)律．隨著Fibonacci序列的增加，周期數(shù)也由有理數(shù)向無