超復(fù)數(shù)廣義J集構(gòu)造方法研究.pdf

1、“分形”一詞的創(chuàng)始人Ma nd lebro t曾經(jīng)說過：“事實上，無論是從美學(xué)的觀點還是從科學(xué)的觀點，許多人在第一次見到分形時都有新的感受”。自然、復(fù)雜、優(yōu)雅、玄妙的分形圖讓許多數(shù)學(xué)家、計算機科學(xué)家、藝術(shù)家為其著迷。在眾多的分形圖大家族中，復(fù)迭代分形圖最能凸顯分形的本質(zhì)和特征。J集是復(fù)迭代分形圖的典型代表，對其構(gòu)造方法的研究從一定程度上代表了對分形圖、特別是對復(fù)迭代分形圖相應(yīng)研究的整體思路。
　　傳統(tǒng)的復(fù)迭代分形圖是基于對復(fù)平面上

2、常規(guī)復(fù)數(shù)進(jìn)行迭代運算而形成的，常規(guī)復(fù)數(shù)包含一個虛部和一個實部，是“二元”的。如果將復(fù)數(shù)擴(kuò)展為多于一個虛部，則形成了所謂三元數(shù)、四元數(shù)等，我們將這樣的復(fù)數(shù)統(tǒng)稱為超復(fù)數(shù)?；诔瑥?fù)數(shù)的迭代運算構(gòu)造復(fù)迭代分形圖，將涉及到許多新的算法和技術(shù)，也會產(chǎn)生一些新穎的、特別是三維的復(fù)迭代分形圖。本項研究目的是構(gòu)造出能體現(xiàn)出自相似性、自放射性、精細(xì)結(jié)構(gòu)等分形本質(zhì)特征的三維J集分形圖。
　　影響J集分形圖的因素很多，不同的超復(fù)數(shù)定義、不同的繪圖方法或者

3、不同色彩方案，都會影響到最后形成的J集分形圖的形態(tài)和色彩。本文在超復(fù)數(shù)定義、三維J集分形圖繪制方法、色彩方案等方面進(jìn)行了研究，并實現(xiàn)了計算機模擬。在經(jīng)過大量研究、實驗后，對實驗結(jié)果進(jìn)行了初步分析。具體地，論文的研究主要涉及下述幾個方面：
　　(1)超復(fù)數(shù)的定義
　　超復(fù)數(shù)的不同定義對最后生成的分形圖的結(jié)構(gòu)形態(tài)都會有一定的影響。本文通過實驗性研究，確定了3種不同的三元數(shù)定義，相對來說，它們通過復(fù)迭代在屏幕可視區(qū)域中比較容易產(chǎn)生

4、具有較為明顯分形特征的圖形，并且不同的三元數(shù)之間產(chǎn)生圖形的差異性也比較大。
　　(2)分形圖的繪制過程
　　分形圖的繪制過程包括繪制方法、色彩方案與參與迭代的復(fù)數(shù)空間。本文基于傳統(tǒng)的“逃逸半徑法”，做了一定程度的改進(jìn)。對逃逸“半徑”的設(shè)定不再是固定不變，而是可以自主設(shè)定，并且使繪制方法與色彩方案實現(xiàn)結(jié)合。在迭代復(fù)數(shù)空間的設(shè)置方面，本文分別采取基于坐標(biāo)軸等量劃分、基于中心點擴(kuò)散的復(fù)數(shù)點選取方法，使生成的三維分形圖以立方體型或線

5、型等形狀呈現(xiàn)。
　?。?）色彩方案
　　一是利用三元數(shù)中的多余“元”來攜帶色彩信息?；趯ΤＲ?guī)復(fù)數(shù)的色彩方案研究，最直觀且最易想到的就是此方案。用此“元”來攜帶色彩因子，為了得到多種多樣的圖形，對此“元”的初值進(jìn)行了不同的定義。
　　二是基于主題色的配色方案。所謂“主題色”就是分形圖的全部配色由幾個指定的顏色來確定。在繪制三維 J集的時候，三個實數(shù)部全部徑向映射到了立體坐標(biāo)中。為了使顏色之間的過渡不會太過突兀，本文采用

6、了“顏色漸變算法”來得到具有柔和顏色過渡的J集分形圖，并對算法中關(guān)鍵量的選擇進(jìn)行了獨特的定義。
　　三是始于基色的配彩方案。所謂基色是指在繪圖開始（迭代取初始值）時即隨機或由用戶指定一種顏色，然后在迭代過程中，通過顏色變換函數(shù)，得到第二種、第三種顏色。這種賦色方案對顏色的控制非常簡單，并且不同的顏色變換函數(shù)，可以產(chǎn)生截然不同的效果，有時其效果可以是“出人意料”的。
　　(4)模擬系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)
　　在前面研究的基礎(chǔ)上