幾個(gè)保守和耗散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究.pdf

1、非線性動(dòng)力學(xué)是非線性力學(xué)研究的一個(gè)重要領(lǐng)域。許多非線性保守和耗散動(dòng)力系統(tǒng)具有對(duì)初始條件的極端敏感依賴性，即混沌現(xiàn)象。由于混沌系統(tǒng)的不可積性，無法得到其解析解。從理論和數(shù)值上對(duì)這些非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究涉及幾個(gè)問題：如何尋找可靠的數(shù)值積分方法？怎樣構(gòu)造或采用可靠的混沌識(shí)別方法？如何了解非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)？如何運(yùn)用非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性去解釋一些物理現(xiàn)象？圍繞這些問題，本文建立了以同一點(diǎn)兩切向量夾角的余弦作為新混沌指標(biāo)，并與已有的快速李

2、雅普諾夫指標(biāo)和較小排列指標(biāo)等進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)其一樣具有較好的混沌識(shí)別靈敏性；還采用辛算法或Runge-Kutta(RK)為積分工具，研究了牛頓和1階后牛頓圓型限制性三體保守系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)、圓軌道衰減的限制性三體耗散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)及物理非線性彈性直桿件問題動(dòng)力學(xué)。另外，利用高階Runge-Kutta(RK)方法探討了新四維自治耗散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，并用模擬硬件電路和基于單片機(jī)的數(shù)字電路實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真。下面分別簡(jiǎn)述這些工作。
　　1、新混沌指標(biāo)——余弦指

3、標(biāo)。考慮到快速Lyapunov指標(biāo)與較小排列指標(biāo)都是迅速識(shí)別混沌的指標(biāo)，并且后者比前者識(shí)別混沌速度更快、更靈敏，因此，本文將以較小排列指標(biāo)為基礎(chǔ)發(fā)展和建立以同一點(diǎn)兩切向量夾角的余弦作為相對(duì)論框架內(nèi)獨(dú)立于時(shí)空坐標(biāo)選擇并具有較好靈敏性的新混沌指標(biāo)。如果軌道混沌，切空間同一點(diǎn)的兩個(gè)切向量的夾角的余弦指數(shù)式地趨于1，而對(duì)于有序軌道，余弦一般在0與1之間某個(gè)值波動(dòng)或代數(shù)式地趨于0。因此，余弦值可以作為區(qū)分有序和混沌軌道的指標(biāo)。借助余弦指標(biāo)和辛算法

4、研究牛頓圓型限制性三體問題。使用幾個(gè)辛算法分別求解該問題得到了它們的能量誤差，找出精度最好算法；再用精度最好算法求解變分方程，即意味著全局辛算法的實(shí)施。結(jié)果表明新余弦混沌指標(biāo)與 Lyapunov指數(shù)和快速Lyapunov指標(biāo)一樣都可以正確揭示系統(tǒng)的有序和混沌性質(zhì)，并且比Lyapunov指數(shù)識(shí)別混沌更快、更靈敏。
　　2、1階后牛頓圓型限制性三體問題動(dòng)力學(xué)。對(duì)距離、時(shí)間和速度等標(biāo)度變換得到質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的拉格朗日函數(shù)，使其中的牛頓

5、圓型限制性三體問題部分兩主天體距離與圓運(yùn)動(dòng)角速度都化為1，但后牛頓項(xiàng)明顯含有兩主天體距離與圓運(yùn)動(dòng)角速度的貢獻(xiàn)。這樣處理方便做牛頓與相對(duì)論的圓型限制性三體問題有序和混沌動(dòng)力學(xué)的比較研究。通過大量掃描兩主天體距離揭示1階后牛頓三體問題軌道動(dòng)力學(xué)定性演化規(guī)律。最后，由考慮兩中心天體圓運(yùn)動(dòng)的1階后牛頓效應(yīng)的拉格朗日理論推導(dǎo)相應(yīng)的1階后牛頓哈密頓，揭示二者在有序和混沌動(dòng)力學(xué)定性上存在一些差異。
　　3、圓軌道衰減的限制性三體問題動(dòng)力學(xué)。對(duì)圓

6、軌道有引力耗散衰減的圓型限制性三體問題的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行位置、速度和加速度標(biāo)度因子變換，通過大量掃描兩主天體距離，發(fā)現(xiàn)與牛頓圓型限制性三體問題不一樣，有圓軌道衰減的圓型限制性三體問題的軌道是不穩(wěn)定的，換言之，兩主天體的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)必然是并合，而小天體必然逃逸；系統(tǒng)保持牛頓動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的時(shí)間與兩主天體的距離有關(guān)。兩主天體距離越短，第三個(gè)小天體逃逸就越早。兩主天體間距愈大，牛頓三體問題動(dòng)力學(xué)特性維持的時(shí)間愈長(zhǎng)。
　　4、非線性粘彈性桿件問題

7、動(dòng)力學(xué)。在工程應(yīng)用中，分析彈性細(xì)桿強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定具有十分重要的意義。該力學(xué)問題考慮的是一端固定而另一端受周期拉伸的二次和三次非線性Keilven-voigt粘彈性直桿動(dòng)力學(xué)。首先應(yīng)用Galerkin方法將無限維動(dòng)力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單模態(tài)、雙模態(tài)和三模態(tài)動(dòng)力方程，進(jìn)一步得到對(duì)應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)。其次，采用四階辛算法、四階力梯度辛算法、最優(yōu)化四階力梯度辛算法和含有三階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的辛算法分別計(jì)算兩類不同的軌道以便比較這些辛算法的能量精度來挑選精

8、度最好算法。再次，利用Poincaré截面、Lyapunov指數(shù)、快速Lyapunov指標(biāo)和功率譜等研究直桿單模態(tài)系統(tǒng)分別在參數(shù)激勵(lì)和強(qiáng)迫激勵(lì)作用下存在分岔、周期、準(zhǔn)周期和混沌現(xiàn)象。最后，揭示不管是無強(qiáng)迫自由振動(dòng)保守系統(tǒng)還是有阻尼參數(shù)激勵(lì)的非自治耗散系統(tǒng)都可能存在周期、準(zhǔn)周期和混沌性質(zhì)。
　　5、新四維電路系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。從模擬電路推導(dǎo)出新的四維自治微分方程，對(duì)系統(tǒng)平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，再采用Lyapunov指數(shù)（LCE）、快速Lya