一類高階分?jǐn)?shù)階偏微分方程的全離散局部間斷有限元方法研究韋雷雷.pdf

1、分?jǐn)?shù)階微積分是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的推廣,是數(shù)學(xué)建模過(guò)程中一個(gè)非常有用的工具.經(jīng)過(guò)三個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展,已經(jīng)引起了越來(lái)越多的學(xué)者及工程技術(shù)人員的興趣和重視.目前分?jǐn)?shù)階偏微分方程模型已經(jīng)在越來(lái)越多的領(lǐng)域中得到應(yīng)用,如導(dǎo)體物理、軟物質(zhì)、控制工程、電容理論、反常擴(kuò)散、生物數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、電解化學(xué)、流變學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)系統(tǒng)、材料和力學(xué)系統(tǒng)、信號(hào)處理和系統(tǒng)識(shí)別、凝聚態(tài)物理等.
　　最近幾十年對(duì)分?jǐn)?shù)階偏微分方程的研究日益廣泛和深入.但對(duì)于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階

2、偏微分方程,解析解的形式太過(guò)復(fù)雜,而且一般不能顯式地表示出來(lái),很難在科學(xué)及工程實(shí)踐中得到應(yīng)用,所以運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法得到分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值解就成為一個(gè)很好的選擇,對(duì)這類方程的數(shù)值解法進(jìn)行研究有著重要的理論和實(shí)踐意義.目前對(duì)于含有高階空間導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值方法方面的研究非常有限,這就促使著我們從這個(gè)方向上做出努力.本文應(yīng)用全離散的間斷有限元方法對(duì)一類含有高階空間導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階偏微分方程進(jìn)行研究,包括時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程、時(shí)間分?jǐn)?shù)階K

3、dV方程、時(shí)間分?jǐn)?shù)階Kawahara方程和時(shí)間分?jǐn)?shù)階四階問(wèn)題.
　　分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型能夠克服經(jīng)典的整數(shù)階模型在模擬反常擴(kuò)散問(wèn)題時(shí)理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合不好的缺點(diǎn).我們?cè)谟薪鐓^(qū)域上考慮時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散問(wèn)題,在時(shí)間方向上用有限差分方法離散,空間方向上用間斷有限元方法離散,得到了一種隱式的、全離散局部間斷有限元方法.理論分析表明所得到的格式是無(wú)條件穩(wěn)定的和收斂的.相關(guān)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,對(duì)P k次多項(xiàng)式,在L2和L∞范數(shù)意義下空間精度均能達(dá)到最

4、優(yōu)的k+1階收斂,時(shí)間方向2α階收斂.
　　KdV方程是一類重要的波動(dòng)方程,用來(lái)描述一大類與波的傳播有關(guān)的物理現(xiàn)象.我們對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階KdV方程的全離散局部間斷有限元方法進(jìn)行研究.給出了詳盡的穩(wěn)定性分析,得到了誤差估計(jì).數(shù)值模擬說(shuō)明了格式的求解效率.
　　Kawahara方程是一類重要的五階KdV方程,廣泛應(yīng)用于描述等離子體中磁聲波、冰薄層中液體的長(zhǎng)波等不同介質(zhì)中長(zhǎng)波的傳播問(wèn)題.我們發(fā)展了全離散的局部間斷有限元方法對(duì)包含五階空

5、間導(dǎo)數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階Kawahara方程進(jìn)行研究.通過(guò)詳盡的理論分析,證明了格式是無(wú)條件穩(wěn)定的和收斂的,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明格式是有效的.
　　四階問(wèn)題廣泛應(yīng)用在薄梁和平板問(wèn)題、應(yīng)變梯度彈性力學(xué)和混合物的相分離等問(wèn)題的建模中.對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階四階問(wèn)題的全離散的局部間斷有限元方法進(jìn)行討論,理論分析表明格式是無(wú)條件穩(wěn)定的,相關(guān)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,我們得到的格式達(dá)到O(hk+1+(?t)2?α)收斂,表明全離散局部間斷有限元方法求解這類問(wèn)題是非常