哈密頓系統(tǒng)的KAM環(huán)面的Gevrey正則性.pdf

1、經(jīng)典的KAM定理認為在一定的非共振和非退化條件下，可積哈密頓系統(tǒng)的不變環(huán)面在小攝動下絕大多數(shù)可以保持下來，只不過稍微有些變形。這些保持下來的不變環(huán)面通常依賴于一族參數(shù)，這些參數(shù)定義在一個康托爾集上。例如，在Kolmogorov非退化條件下，不變環(huán)面的頻率通常作為參數(shù)；而在Rüssmann非退化條件下，不變環(huán)面的頻率不能作為獨立的參數(shù)，而是依賴于初始參數(shù)。主要研究這些保持下來的不變環(huán)面對這些參數(shù)的依賴關(guān)系，即KAM環(huán)面關(guān)于參數(shù)的正則性。

2、 已有的結(jié)果都是在Kolmogorov非退化條件下得到的，那么在Rüssmann非退化條件下是否有同樣的結(jié)果?本文主要研究對于解析哈密頓系統(tǒng)Rüssmann非退化條件下橢圓低維不變環(huán)面的正則性，Gevrey光滑哈密頓系統(tǒng)Rüssman。非退化條件下不變環(huán)面(最大維和橢圓低維)的保持性和正則性。另外，將KAM迭代的技巧應(yīng)用于擬周期的可逆映射，來研究在有限可微情況下其不變曲線的存在性。主要得到下面的結(jié)果： 1．在解析情況下，考

3、慮如下的哈密頓系統(tǒng)通過改進的KAM迭代，證明了Rüssmann非退化條件下近可積解析哈密頓系統(tǒng)的橢圓低維不變環(huán)面關(guān)于參數(shù)在Whitney意義下是Gevrey光滑的，Gevrey指標為μ=7τ+2+δ，這里δ∈(0，1)，τ是小分母條件中的指數(shù)。證明的關(guān)鍵在于如何處理Rüssmann非退化條件下小分母中的參數(shù)。 2．在Gevrey光滑情況下，考慮哈密頓系統(tǒng)H(I，φ)=N(I)+P(I，φ)，和哈密頓系統(tǒng)(1)，通過改進的KAM迭

4、代，證明了Rüssmann非退化條件下解析可積哈密頓系統(tǒng)在Gevrey光滑攝動下不變環(huán)面(最大維和橢圓低維)的保持性，以及保持下來的不變環(huán)面(最大維和橢圓低維)關(guān)于參數(shù)在Whitney意義下是Gevrey光滑的，Gevrey指標為μ=λ(τ+1)+1，這里λ表示哈密頓函數(shù)的Gevrey光滑類，τ是小分母條件中的指數(shù)。證明的關(guān)鍵在于如何處理每次函數(shù)逼近的誤差和每步攝動的關(guān)系，使得由逼近函數(shù)帶來的誤差不會破壞KAM迭代的快速收斂性。