哈密頓系統(tǒng)的低維不變環(huán)面.pdf

1、該文在第一Melnikov條件(非共振條件)和Russmann非退化條件的假設之下,研究了哈密頓系統(tǒng)和低維不變環(huán)面的保持性問題.文章共分四個部分:引言,主要結論,主要結論的證明和附錄.在引言中介紹了哈密頓系統(tǒng)的一些基本概念以及有關的研究背景.第一章主要結論給出了兩個定理,即定理一和定理二.其中定理一是在第一Melnikov條件和Russmann非退化條件下給出的,是該文的主要結論.定理二是為了證明定理一而引進的,其主要目的是設法應用常規(guī)

2、的KAM迭代來證明定理一.第二章主要結論的證明分兩節(jié):第一節(jié)先對法向頻率進行分類,然后在法向頻率分類的基礎上應用定理二證明了定理一的結論,其中用到了一個特殊的辛映射:(公式略).第二節(jié)是定理二的證明,這是該文的重點.定理二證明的主要方法是常規(guī)的KAM迭代,分為KAM步驟,迭代引理,迭代的收斂性和測度估計四個方面.KAM步驟共分截斷,構造辛變換,求解線性方程和估計新的擾動項;迭代引理是對KAM步驟內容的總結,并通過設置適當的參數,使得KA

3、M步驟的結論對任意第v步都成立,從而保證迭代過程能無限次地進行下去,為迭代的收斂性的證明做好了準備;迭代的收斂性證明了迭代序列{Ф<'v>}在D<,*>×O<,α>上收斂于一個辛變換Ф,并由此證明了T<'n>×{0}×{0}×{0}是哈密頓系統(tǒng)的不變環(huán)面;測度估計先給出了幾個引理,然后證明了O<,α>是非空的,并且,在小擾動下不能保存下來的低維不變環(huán)面是很少的,當α→0時,其測度幾乎趨于0,而在小擾動下大部分低維不變環(huán)面都能保存下來.在