哈密頓系統(tǒng)的低維不變環(huán)面.pdf

1、該文在第一Melnikov條件(非共振條件)和Russmann非退化條件的假設(shè)之下,研究了哈密頓系統(tǒng)和低維不變環(huán)面的保持性問題.文章共分四個(gè)部分:引言,主要結(jié)論,主要結(jié)論的證明和附錄.在引言中介紹了哈密頓系統(tǒng)的一些基本概念以及有關(guān)的研究背景.第一章主要結(jié)論給出了兩個(gè)定理,即定理一和定理二.其中定理一是在第一Melnikov條件和Russmann非退化條件下給出的,是該文的主要結(jié)論.定理二是為了證明定理一而引進(jìn)的,其主要目的是設(shè)法應(yīng)用常規(guī)

2、的KAM迭代來證明定理一.第二章主要結(jié)論的證明分兩節(jié):第一節(jié)先對(duì)法向頻率進(jìn)行分類,然后在法向頻率分類的基礎(chǔ)上應(yīng)用定理二證明了定理一的結(jié)論,其中用到了一個(gè)特殊的辛映射:(公式略).第二節(jié)是定理二的證明,這是該文的重點(diǎn).定理二證明的主要方法是常規(guī)的KAM迭代,分為KAM步驟,迭代引理,迭代的收斂性和測(cè)度估計(jì)四個(gè)方面.KAM步驟共分截?cái)?構(gòu)造辛變換,求解線性方程和估計(jì)新的擾動(dòng)項(xiàng);迭代引理是對(duì)KAM步驟內(nèi)容的總結(jié),并通過設(shè)置適當(dāng)?shù)膮?shù),使得KA

3、M步驟的結(jié)論對(duì)任意第v步都成立,從而保證迭代過程能無限次地進(jìn)行下去,為迭代的收斂性的證明做好了準(zhǔn)備;迭代的收斂性證明了迭代序列{Ф<'v>}在D<,*>×O<,α>上收斂于一個(gè)辛變換Ф,并由此證明了T<'n>×{0}×{0}×{0}是哈密頓系統(tǒng)的不變環(huán)面;測(cè)度估計(jì)先給出了幾個(gè)引理,然后證明了O<,α>是非空的,并且,在小擾動(dòng)下不能保存下來的低維不變環(huán)面是很少的,當(dāng)α→0時(shí),其測(cè)度幾乎趨于0,而在小擾動(dòng)下大部分低維不變環(huán)面都能保存下來.在