兩類非共振脈沖泛函邊值問(wèn)題解的存在性研究.pdf

1、在自然界中，許多事物的變化規(guī)律不僅依賴于當(dāng)時(shí)的狀態(tài)，還依賴于過(guò)去或?qū)?lái)某時(shí)刻或某時(shí)間段的狀態(tài)，并且往往伴有瞬時(shí)突變現(xiàn)象，這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型可以用脈沖泛函微分系統(tǒng)來(lái)描述.非共振泛函微分系統(tǒng)是其中一類常見(jiàn)的系統(tǒng)，在物理、生物、醫(yī)學(xué)、控制論等領(lǐng)域都有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景，因此對(duì)該系統(tǒng)的研究逐漸成為一個(gè)熱點(diǎn).本文即利用非線性泛函分析理論研究了兩類非共振脈沖泛函邊值問(wèn)題解的存在性.全文分為兩章. 第一章中我們利用不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論討論了非共振

2、的含參數(shù)脈沖泛函邊值問(wèn)題 {-u″+ρp(t)u(t)=λf(t，u(w(t)))，t∈(0，1)，t≠tk；△u|t=tk=Ik(u(tk))；△u'|t=tk=e'2/(tk)/e2(tk)Ik(u(tk)),tk∈(0，1)，k=1，2，…，m；(1) u(t)=ψ(t)，t∈[a，0]；u(t)=矽(t)，t∈[1，b]. 多個(gè)正解的存在性. 相比于文[14]，本文在加脈沖的同時(shí)將右端項(xiàng)f(t，u

3、(t))推廣到f(t，u(w(t)))，使[14]成為本章的特殊情況.在本章中我們利用上下解方法以及不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論得到如下結(jié)論：存在λ*，λ**＞0，使當(dāng)0＜λ＜λ*時(shí)，方程(1)至少存在兩個(gè)正解，而當(dāng)λ＞λ**時(shí)，方程(2)無(wú)正解.其次我們又考慮了在w(t)=t情況下所得的更優(yōu)的結(jié)論，包括f(t，u)在u=0處奇異和非奇異兩種情況.在非奇異情況下，我們得到：存在0＜λ*≤λ***，使當(dāng)λ∈(0，λ*)時(shí)，(1)至少有兩個(gè)正解；當(dāng)λ∈(

4、0，λ***]時(shí)，(1)至少有一個(gè)正解；而當(dāng)λ＞λ***時(shí)，(1)無(wú)解.這時(shí)由于脈沖的影響，需要建立新的上下解方法，. 第二章中我們通過(guò)建立相應(yīng)的比較定理并運(yùn)用單調(diào)迭代技巧研究了如下非共振的脈沖泛函邊值問(wèn)題解的存在性. -u″+βu(t)=f(t，u(t)，ut)，t∈(0，1)，t≠t1；u(t)=φ(t)，t∈[-τ，0]；△u|t=t1=Lu(t1)；△u'|t=t1=L*u'(1)；u(1)=0. 在方程

5、形式上，本章與第一章最大的差別在于由f(t，u(w(t)))變?yōu)閒(t，u(t)，ut)，即解在t時(shí)刻的性質(zhì)不僅與w(t)時(shí)刻狀態(tài)有關(guān)，還與t-τ時(shí)刻到t時(shí)刻這一段上的狀態(tài)有關(guān).單調(diào)迭代方法在解決周期邊值問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用([19]-[22])，但用于解決邊值問(wèn)題尤其是脈沖泛函邊值問(wèn)題的結(jié)果并不多見(jiàn)([23]).本章首先建立了脈沖泛函邊值問(wèn)題的比較定理，并在此基礎(chǔ)上得到了系統(tǒng)(2)解的存在性結(jié)論.最后用一個(gè)例子說(shuō)明我們給出的條件是合理