公共不動點及其相關的最佳逼近問題.pdf

1、眾所周知，不動點理論滲透到數(shù)學的多個領域，并被廣泛應用于各種問題的研究中。作為不動點理論的延伸和推廣，映射對(或映射族)的公共不動點受到廣泛重視，并成為十分活躍的領域。特別是滿足交換條件的映射對(或映射族)情形已取得較豐富和系統(tǒng)的結果。為了研究非交換映射對的問題，人們提出了弱交換，R-弱交換，相容映射等概念及其相應的非交換映射類，并取得了一定的進展。但是由于工具和技術上的原因，與關于交換映射(對)的成果相比，關于非交換映射需要深入研究的

2、問題還很多，尤其是如何引入更廣泛的非交換映射類并確定相應的公共不動點的存在性，在理論和應用上都具有十分重要的意義。 不動點和公共不動點定理的一個重要應用是證明不動點(元)或公共不動點(元)在給定逼近集中具有不動點性質的最佳逼近元的存在性。1964年，Meinardus利用Schauder不動點定理證明了函數(shù)的某種特殊性質可以傳遞給它的最佳逼近元，人們稱之為“不變逼近”。此后，關于不動點(或公共不動點)最佳逼近的研究成為備受關注的

3、課題。該課題對于非嚴格凸空間具有更突出的價值。本文將深入系統(tǒng)研究非交換映射(對)的公共不動點及其相關的最佳逼近問題，主要研究問題和研究成果有如下四個方面： 1.定理的基礎上，分別在緊致和弱緊致前提下，對漸進弱C交換映射(對)證明了非擴張型公共不動點的存在性定理。弱C交換和漸進弱C交換本質上涵蓋了以往幾乎所有的“非交換”類型，因此本文結論推廣和涵蓋了大部分已知的關于“非交換”映射(對)的公共不動點的結果。 2.提出了弱F交

4、換映射(對)的概念，這是與以往的非交換映射完全不同(互不包含)的非交換類型。文中首先利用弱F交換和F-凸映射將經(jīng)典的Tychonoff不動點定理和Markov不動點定理統(tǒng)一為一個定理，隨后建立了一系列關于弱F交換映射(對)的非擴張型公共不動點的存在性定理。以往的定理中都要求其中一個映射是線性或仿射的，但是本文關于弱F交換映射(對)的結論，只需要求F-凸性假設，本質上減弱了定理的條件。這說明弱F交換的概念在非交換映射(對)的研究中具有基本

5、的重要性，在很大程度上反映了問題的實質。 3.在上述工作基礎上，本文研究了弱C交換映射和弱F交換映射(對)的公共不動點的最佳逼近問題，證明了一系列具有公共不動點性質的最佳逼近元的存在性定理。由于這兩種非交換映射類的廣泛性，本文結論推廣和涵蓋了大部分已有的關于不動點和公共不動點的最佳逼近的結果，特別在關于弱F交換映射的結論中，不需要對映射附加線性或仿射的假設，這將使得本文結果具有更大的實用性。文中還討論了Al-Thagafi關于不

6、變逼近提出的問題，且把有關結論推廣到了對漸進弱C交換映射和弱F交換映射類。 4.p-模(0＜p＜1)空間是一個非局部凸線性拓撲空間，而調和分析中的Hp(0＜p＜1)是一個典型的p-?？臻g.由于空間特征的復雜性，非局部凸空間中的不動點問題的研究成果較少。本文利用Ky-Fan定理和Banach壓縮映射原理系統(tǒng)討論了p-模(0＜p＜1)空間中的不動點與公共不動點問題，克服非局部凸帶來的困難，給出了一些公共不動點的存在性定理，并將其用于