幾類特殊線性約束矩陣方程問題及其最佳逼近問題.pdf

1、約束矩陣方程問題是指在滿足一定條件的矩陣集合中求給定的矩陣方程解的問題．約束矩陣集合不同，求解的矩陣方程類型不同，均構(gòu)成不同的問題．隨著科學(xué)與工程技術(shù)的不斷發(fā)展，新的約束矩陣方程問題不斷地提出，特別在控制論，信息論，振動(dòng)理論，系統(tǒng)識(shí)別，結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型修正和自動(dòng)系統(tǒng)模擬等尤為顯著，其研究所取得的成果，有直接的重要的應(yīng)用背景．本篇博士論文主要是對逆特征值問題(AX=XA)以及對矩陣方程AX=B的等式問題(即線性約束問題)和最小二乘問題進(jìn)行了研

2、究，主要工作如下： 1．系統(tǒng)地研究了中心主子陣約束下幾類實(shí)矩陣的約束矩陣方程問題，內(nèi)容包括中心主子陣約束下中心對稱矩陣的逆特征值問題，線性約束問題，最小二乘問題，左右逆特征值問題(AX=XA，YTA=гYT)，方程組(AX=Z，YTA=WT)的最小二乘問題；中心主子陣約束下雙對稱矩陣的逆特征值問題，線性約束問題，最小二乘問題；中心主子陣約束下對稱次反對稱矩陣，反對稱次對稱矩陣，雙反對稱矩陣的最小二乘問題．通過分析這幾類矩陣與其各

3、自中心主子陣的特殊性質(zhì)，得到了中心主子陣具有和原矩陣相同的結(jié)構(gòu)，從而巧妙地將上述幾類問題轉(zhuǎn)化為階數(shù)減半的幾類子矩陣約束下的(左右)逆特征值問題，線性約束問題，或(方程組)最小二乘問題．這是解決問題的關(guān)鍵，是這部分區(qū)別于其他子矩陣約束問題的特色所在．在此基礎(chǔ)上，徹底地解決了中心主子陣約束下的矩陣方程問題，得到了問題有解的充要條件，通解表達(dá)式，相應(yīng)問題的最佳逼近解以及數(shù)值算例． 2．研究了線性流形上復(fù)對稱矩陣，復(fù)雙對稱矩陣的最小二乘

4、問題，利用復(fù)矩陣的奇異值分解，廣義逆等得到了問題通解的表達(dá)式以及最佳逼近解．討論了Hermite正定矩陣的最小二乘問題，通過對Hermite正定矩陣分塊形式的分析，得到了矩陣存在最小二乘解及其最佳逼近解的充要條件，給出了最小二乘解和最佳逼近解的表達(dá)式，并提供了求最佳逼近解的算法和數(shù)值算例． 3．研究了Hermite自反矩陣的逆特征值問題、線性約束問題和Hermite反自反矩陣的逆特征值問題、線性約束問題．通過分析這兩類矩陣特征向

5、量的性質(zhì)，巧妙合理地給出了逆特征值問題的數(shù)學(xué)描述．接著定義一種新的內(nèi)積，利用Hermite(反)自反矩陣特有的結(jié)構(gòu)，以及它們與對稱向量，反對稱向量的關(guān)系，獲得了問題可解的充要條件，通解表達(dá)式，最佳逼近解以及數(shù)值算例． 4．討論了行(列)對稱矩陣，行(列)反對稱矩陣，行(列)延拓矩陣的性質(zhì)．研究了矩陣方程XHAX=B的行(列)反對稱問題，行(列)延拓矩陣的最小二乘問題，得到了問題有解的充要條件，通解表達(dá)式以及最佳逼近解．研究了求矩