多元直交多項(xiàng)式與數(shù)值積分公式.pdf

1、大連理工大學(xué)博士學(xué)位論文多元直交多項(xiàng)式與數(shù)值積分公式姓名：孟兆良申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：博士專業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：羅鐘鉉20061001多元直交多項(xiàng)式與數(shù)值積分公式兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積根據(jù)Stroudl2】的結(jié)論，兩個(gè)2次直交多項(xiàng)式有4個(gè)交點(diǎn)(非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1，則這4個(gè)交點(diǎn)是3次求積公式的積分結(jié)點(diǎn)顯然判斷具有上面分解性質(zhì)的兩個(gè)2次直交多項(xiàng)式的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了判斷直線交點(diǎn)問題利用這一性質(zhì)，本文給出了四點(diǎn)三次積分公式的一個(gè)構(gòu)造方法，并且給出了詳細(xì)的

2、構(gòu)造過程根據(jù)M611erN的結(jié)論，結(jié)點(diǎn)數(shù)已經(jīng)達(dá)到最小值得一提的是，利用本文的方法所構(gòu)造的數(shù)值例子作為反例否定了MSllerN于2004年給出的重要結(jié)論：數(shù)值積分公式中的結(jié)點(diǎn)數(shù)最小時(shí)相應(yīng)數(shù)值積分公式的所有權(quán)系數(shù)為正這一點(diǎn)已經(jīng)得到MSUer本人的m5件承認(rèn)(4)為了研究多元直交多項(xiàng)式的性質(zhì)，本文給出了高維情形的不變因子的概念，并且由此給出了多元Stieltjes型定理另外我們還得到了完全與二元直交多項(xiàng)式相平行的結(jié)論，其中包括與Jacobi矩

3、陣的關(guān)系，不變因子的零點(diǎn)性質(zhì)，多元直交多項(xiàng)式的分解性質(zhì)，公共零點(diǎn)的存在范圍等f(wàn)5)乘積型公式是構(gòu)造最簡(jiǎn)單且應(yīng)用非常廣泛的一類多元數(shù)值積分公式它的構(gòu)造原理是通過一個(gè)變換把原始積分問題分解為一系列的單重積分問題，從而借助一元的求積公式來求積它的一個(gè)最大缺點(diǎn)是在次數(shù)和維數(shù)升高時(shí)結(jié)點(diǎn)數(shù)增長(zhǎng)太快鑒于此本文針對(duì)球域上的積分問題給出了一個(gè)變換，通過這個(gè)變換不僅可以把球域上的積分問題轉(zhuǎn)化為單重積分問題，而且最終的結(jié)點(diǎn)數(shù)也大為減少本文構(gòu)造的的求積公式無論

4、代數(shù)精度高低總有一些結(jié)點(diǎn)是被重復(fù)使用的(6)多項(xiàng)式插值與數(shù)值積分之間有著密切的聯(lián)系為了研究插值適定性問題，梁學(xué)章等人[5刊關(guān)于多元多項(xiàng)式的插值問題給出了一種遞規(guī)構(gòu)造的方法一添加代數(shù)曲線法本文考慮求積公式的遞歸構(gòu)造方法本文首先給出了一種添加代數(shù)曲線的積分構(gòu)造法，即通過在給定的代數(shù)曲線上選擇一些結(jié)點(diǎn)得到一個(gè)代數(shù)精度更高的求積公式選定一些不同的代數(shù)曲線，重復(fù)添加曲線過程，這樣最終得到了遞歸構(gòu)造法其次，為了減少結(jié)點(diǎn)數(shù)，事先把這些代數(shù)曲線視為一個(gè)

5、n次直交多項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的代數(shù)曲線的一些分支，利用直交多項(xiàng)式的直交性可以假定以這個(gè)直交多項(xiàng)式為權(quán)函數(shù)的積分已經(jīng)有了一個(gè)0點(diǎn)n一1次的積分公式由于出發(fā)點(diǎn)是從n一1次開始，這樣勢(shì)必減少了大量的結(jié)點(diǎn)數(shù)本文以圓盤上的積分為例給出了詳細(xì)的構(gòu)造過程，并且得到了許多相應(yīng)的求積公式，有些公式的結(jié)點(diǎn)數(shù)已經(jīng)達(dá)到最小最后，本文還給出了不同權(quán)系數(shù)下直交多項(xiàng)式之間的一個(gè)關(guān)系式(7)借助多項(xiàng)式理想的相關(guān)知識(shí)，本文研究了一個(gè)事先給定結(jié)點(diǎn)的數(shù)值積分公式的構(gòu)造方法把給定的結(jié)