一類具有時(shí)滯的免疫系統(tǒng)的定性研究.pdf

1、在自然科學(xué)和工程技術(shù)的研究中,許多現(xiàn)象都用微分方程作為它們的數(shù)學(xué)模型,這些問題實(shí)際上都是假定事物的變化規(guī)律只與當(dāng)時(shí)的狀態(tài)有關(guān),而和過去的歷史狀態(tài)無關(guān).但是,事實(shí)告訴我們,許多事物的變化規(guī)律不僅依賴于當(dāng)時(shí)的狀態(tài),還依賴于過去的狀態(tài),在這種情況下,微分方程就不能很精確地描述客觀事物了,代之而起的就是微分差分方程,特別是帶有時(shí)間滯后的微分方程.近年來,時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)已經(jīng)成為許多領(lǐng)域的重要研究對(duì)象,例如,醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的重要研究對(duì)象.Marchuk模型

2、[1]就是這樣一類特殊的具有時(shí)滯的免疫反應(yīng)模型,是數(shù)學(xué)免疫學(xué)上的倡導(dǎo)性模型之一.它是由俄國人Marchuk在1980年提出來的,以體液免疫反應(yīng)的語言來刻劃,描述了生物體內(nèi)的抗體抑制某些外來異物——抗原的一般免疫反應(yīng).很多人已經(jīng)對(duì)這個(gè)模型作過深入的研究(見參考文獻(xiàn)[2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]).例如,文[12]以時(shí)滯τ為參數(shù),利用特征根法研究了該模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,利用文[13]的方法研究了該模型的周期解.該文仍

3、以時(shí)滯τ為參數(shù),立足于不同的方法,更加深入地討論模型解的性質(zhì).首先,利用特征根法和解析法研究了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及其穩(wěn)定性的存在范圍.我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)滯τ變化經(jīng)過某些值時(shí),系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性也發(fā)生變化,也就是從漸近穩(wěn)定(不穩(wěn)定)到不穩(wěn)定(穩(wěn)定).這些τ值就是系統(tǒng)的Hopf分支值(即在這些值附近,系統(tǒng)有小振幅的非平凡周期解),從而也得到了穩(wěn)定性的存在范圍.其次,利用基于中心流形定理和規(guī)范形理論的HKW方法[14]給出了確定Hopf分支周期解的