兩類平面系統(tǒng)的極限環(huán)問題.pdf

1、本文分別研究了兩類平面系統(tǒng)的極限環(huán)問題全文共分三章.第一章為引言，第二章研究了二次系統(tǒng)(Ⅲ)n=0的極限環(huán)問題，第三章研究了一類四次Liénard系統(tǒng)的極限環(huán). 一、二次系統(tǒng)(Ⅲ)n=0的極限環(huán)問題(第二章)這一部分對葉分類下的二次系統(tǒng)(Ⅲ)n=0，即系統(tǒng)x=-y+dx+lx2+mxy≡p(x，y)y=x(1+ax+by)≡Q(x，y)的極限環(huán)問題進(jìn)行了較系統(tǒng)的研究.得到了系統(tǒng)不存在極限環(huán)，存在惟一極限環(huán)，最多存在兩個(gè)極限環(huán)的相

2、應(yīng)結(jié)論.全章共分四節(jié). 第一節(jié)，對系統(tǒng)(Ⅲ)n=0進(jìn)行了基本定性分析，由于O外的極限環(huán)問題涉及到d=0時(shí)該系統(tǒng)的P(x，y)=0通過O的一支上是否存在一鞍點(diǎn)S1，如果存在，則它包向O的兩分界線界定了O外可能存在極限環(huán)的范圍是以S1為邊界的有界區(qū)域.當(dāng)1+ax+by=0不與P(x，y)=0的上半支相交時(shí)，則d=0時(shí)包向原點(diǎn)的兩分界線分別來自和跑向赤道上的鞍點(diǎn)(或鞍結(jié)點(diǎn)).這時(shí)O外可能存在極限環(huán)就涉及到這兩條分界線所包圍的無界區(qū)域，

3、這對決定O外極限環(huán)是否具有惟一性是至關(guān)重要的. 第二節(jié)考察了d=0時(shí)該系統(tǒng)的極限環(huán)問題，得到如下結(jié)論：(1)圍繞O的極限環(huán)若存在，必保持在區(qū)域x＜1內(nèi). (2)固定l＞0，在(a，b)平面上的角域a(b+2l)≤0中系統(tǒng)不存在極限環(huán). (3)在(a，b)平面上的另兩個(gè)對角域內(nèi)，由于O可以成為二階、三階細(xì)焦點(diǎn)或中心，通過攝動(dòng)參數(shù)改變其穩(wěn)定性，從而在O外可出現(xiàn)極限環(huán).由此分析了能分支出極限環(huán)的可能參數(shù)區(qū)域.(見圖2.

4、4.圖中的數(shù)字1，2表示出現(xiàn)極限環(huán)的個(gè)數(shù)).對余下的陰影區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中的參數(shù)，我們均證明O外不存在極限環(huán).證明較長，利用到一些甚為精細(xì)的估計(jì)，以證明在相應(yīng)參數(shù)條件下，用Filipov變換后的函數(shù)F1(z)與F2(z)，恒有F1(z)≥F2(z)(或F1(z)≤F2(z))，見定理2.2-2.5. 過渡到d≠0.對上述無環(huán)區(qū)的參數(shù)a，b，l，運(yùn)用廣義旋轉(zhuǎn)向量場理論易見當(dāng)d[l-a(b+2l)]＞0時(shí)系統(tǒng)(Ⅲ)n=0在O外也不

5、存在極限環(huán)(見定理2.6). 利用這些結(jié)論，在該節(jié)的最后一部分，討論了文中的一個(gè)重要猜測，即對于一般的Ⅲ類系統(tǒng)，當(dāng)d，V3，V5，V7同號(hào)時(shí)O外不存在極限環(huán).本文就(Ⅲ)n=0系統(tǒng)基本證實(shí)了這一猜測. 第三節(jié)研究了系統(tǒng)(Ⅲ)n=0的極限環(huán)的惟一性問題.對第二節(jié)所得到的無環(huán)區(qū)，當(dāng)d從零變?yōu)閐[l-a(b+2l)]＜0且|d|很小時(shí)，O改變穩(wěn)定性而產(chǎn)生極限環(huán)(由Hopf分支).我們猜測對任意d值，極限環(huán)最多只有一個(gè).文中就a

6、≤0，b+2l≥0和a≥0，b+2l≤0在適當(dāng)附加條件下，證明了極限環(huán)的惟一性.見定理2.7，定理2.8. 對其它區(qū)域的參數(shù)有待進(jìn)一步證實(shí).第四節(jié)考察d=0時(shí)系統(tǒng)(Ⅲ)n=0的極限環(huán)的惟二性.文[5]中有一猜測：如果二次系統(tǒng)有一α階細(xì)焦點(diǎn)且有β個(gè)極限環(huán)包圍這一焦點(diǎn)，則α+β≤3.對于α=2和α=3的情形，猜測已被證明.在這一節(jié)中，主要討論α=1，即原點(diǎn)為一階細(xì)焦點(diǎn)，要證其外的極限環(huán)不多于兩個(gè).我們在適當(dāng)?shù)臈l件下，證得了這一結(jié)論，

7、見定理2.9，定理2.10. 二、一類四次Liénard系統(tǒng)的極限環(huán)(第三章)本章考察了一類多項(xiàng)式Liénard的系統(tǒng)dx-dt=y-F(x)dy-dt=-x其中F(x)=a1x+a2x2+…+anxn. 針對文[7]提出的一個(gè)著名猜測，即當(dāng)F(x)是2k+l階或2k+2階多項(xiàng)式時(shí)該系統(tǒng)最多存在k個(gè)極限環(huán).本章研究了n=4的情形，希望證明該系統(tǒng)最多只有一個(gè)極限環(huán).主要方法是利用Liénard系統(tǒng)極限環(huán)的惟一性定理(引理3