兩類隨機(jī)變量的若干極限定理.pdf

1、全文共分三章： 第一章，主要介紹了獨(dú)立同分布隨機(jī)場(chǎng)變量的Marcinkiewicz-Zygmund強(qiáng)收斂性.Smythe(1973)研究了獨(dú)立同分布γ維隨機(jī)變量矩陣的強(qiáng)大數(shù)律，證明了如下的定理： 定理A設(shè){X，X(n)；(n)∈Nd}是i.i.d.隨機(jī)場(chǎng)，且EX=0.如果E｜X｜·(1og+｜X｜)d-1＜∞(1)成立，則∑-i≤(n)X-i/|(n)|→0a.s.((n)→∞(2)反之，如果式(2)成立，則有式(1)成

2、立.AllanGut(1978)則討論了當(dāng)0＜r＜2時(shí)，∑-i≤(n)Xi/|(n)|1/r的收斂行為以及它的收斂速度.在第一章的第二節(jié)中，我們討論了當(dāng)加權(quán)矩陣{a(n)-i}對(duì)某個(gè)α＞0滿足Aα=limsupAα,(n)＜∞,Aαα,(n)=1/|(n)|∑i≤(n)｜a(n)-i｜α(3)時(shí)，對(duì)獨(dú)立同分布隨機(jī)場(chǎng)變量有下面的定理成立.定理1設(shè){X，X(n)；(n)∈Nd)是i.i.d.隨機(jī)場(chǎng)變量，滿足EX=0，且E{｜X｜β/(1+β

3、(1/γ-1))(log+｜X｜)d-1}＜∞,(4)對(duì)于0＜r＜1，1＜α，β＜∞，1/α+1/β=1，式(3)成立.則∑-i≤(n)a-i(n)X-i/|(n)|1/γ→0a.s.(5)反之，對(duì)有如上關(guān)系的α，β，r，若式(5)對(duì)任何滿足式(3)的系數(shù)矩陣都成立，則有式(4)成立. 定理2設(shè){X，X(n)；(n)∈Nd}是i.i.d.隨機(jī)場(chǎng)變量，滿足EX=0,E{｜X｜β(log+｜X｜)d-1}＜∞,(6)且對(duì)于1＜α，β

4、＜∞，1/α+1/β=1/γ，1≤γ＜2，式(3)成立.則∑-i≤(n)a-i(n)X-i/|(n)|1/γ→0a.s.(7)反之，對(duì)有如上關(guān)系的α，β，r，若式(7)對(duì)任何滿足式(3)的系數(shù)矩陣都成立，則有式(6)成立.更進(jìn)一步，我們考慮隨機(jī)場(chǎng)變量的矩生成函數(shù)存在情形.假定對(duì)某個(gè)h＞0，γ＞0，E[exp(h｜X｜γ)]＜∞，(8)我們有下面的定理，定理3設(shè){X，X(n)；(n)∈Nd}是滿足式(8)的i.i.d.隨機(jī)場(chǎng)變量，且式(3

5、)對(duì)于α∈(0，2]成立，則(i)若0＜α≤1且b(n)=｜(n)｜1/αlog1/γ｜(n)｜，貝limsup(n)→∞｜∑-i≤(n)a-i(n)Xi｜/b(n)≤Aα/ha.s.;(9)(ii)若1＜α≤2，EX=0，如果0＜γ≤1且b(n)=｜(n)｜1/α(1og｜(n)｜)1/γ+θ(θ＞0)，貝|∑-i≤(n)a-i(n)X-i|/b(n)→0a.s.(10)如果γ＞1且b(n)=｜n｜1/α(log｜(n)｜)γ+δ+θ

6、(θ＞0),δ=1-1/γ-γ-1/1，貝|∑-i≤(n)a-i(n)X-i|/b(n)→0a.s.;(11)反之，對(duì)于0＜α≤1，若式(9)對(duì)任何滿足式(3)的系數(shù)矩陣都成立，則對(duì)所有0＜h/＜h，E[exp(h'｜X｜γ)]＜∞. 定理3是對(duì)定理1與定理2精致的改進(jìn). 第二章的內(nèi)容是關(guān)于NA隨機(jī)變量序列的強(qiáng)收斂性，主要討論了當(dāng)NA隨機(jī)變量序列的矩生成函數(shù)存在時(shí)加權(quán)和的強(qiáng)大數(shù)律，即定理 定理4設(shè){Xn；n≥1}

7、是同分布均值為0的NA隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)為F(x)，且對(duì)任意的h＞0，γ＞0，有E[exp(h｜X1｜γ)]＜∞，(12)令{ani；1≤i≤n，n≥1}是常數(shù)矩陣，滿足Aα=limsupn→∞Aα,n＜∞,Aαα,n=∑ni=1｜ani｜α/n(1＜α≤2),(13)則對(duì)0＜γ≤1和bn=n1/αlog1/γn，有n∑i=1ani/bnXi→0a.s.(14)對(duì)γ＞1和bn=n1/α(1ogn)1/γ+δ，有n∑i=1ani/b

8、nXi→0a.s(15)其中δ=1-1-1/γ-γ-1/1+αγ+α. 在第三章中，討論了行NA隨機(jī)變量陣列的完全收斂性.本文稱隨機(jī)變量陣列{Xni；1≤i≤n，n≥1}被隨機(jī)變量X弱均值所界，如果對(duì)某個(gè)γ＞0和所有的x＞0與n≥1有1/nn∑i=1(｜Xni｜＞x)≤γP(｜X｜＞x)forallx＞0andalln.(16)首先是Gut(1992)證明了行獨(dú)立隨機(jī)變量陣列在弱均值所界的條件下的完全收斂性，定理B令{Xni；1

9、≤i≤n，n≥1}是滿足E｜Xni｜＜∞，EXni=0(1≤i≤n，n≥1)(17)的行獨(dú)立的隨機(jī)變量陣列，且為隨機(jī)變量X弱均值所界.對(duì)某個(gè)0＜p＜2，E｜X｜2p＜∞.令Sn=∑ni=1Xni.則對(duì)任意的ε＞0，有∑P(｜Sn｜＞n1/pε)＜∞forallε＞0.(18)第三章在弱均值所界的條件下，討論了行NA隨機(jī)變量陣列的完全收斂性. 定理5令{Xni；1≤i≤n，n≥1}是滿足式(17)的行NA隨機(jī)變量陣列，且為隨機(jī)變量