幾類微分系統(tǒng)的攝動解法研究.pdf

1、攝動微分系統(tǒng)是動力系統(tǒng)研究中的重要內(nèi)容,有很強的實際背景,因此產(chǎn)生了很多應(yīng)用,引起了眾多學(xué)者的關(guān)注.目前攝動微分系統(tǒng)模型大多數(shù)只涉及低階和低維,而事實上高階和高維的攝動系統(tǒng)是大量存在于實際應(yīng)用中的.比如,快慢型動力系統(tǒng)也廣泛存在于實際問題中.它的特點是系統(tǒng)分為快狀態(tài)和慢狀態(tài)兩類,系統(tǒng)的主要特征由慢狀態(tài)來表現(xiàn),表現(xiàn)在方程中即是方程的最高階項乘以遠小于1的正的小參數(shù),屬于邊界層奇異攝動問題.此外,傳染病是影響人類健康的重要因素之一.關(guān)于傳染

2、病的研究,目前人們將其歸化為一個反映其基本規(guī)律的微分方程模型,然后利用動力學(xué)的研究方法來研究其動態(tài)的規(guī)律.在某些傳染病模型中,由于其傳染率是遠小于1的參數(shù),我們可以將這類含有遠小于1的小參數(shù)的傳染病模型看作是攝動微分系統(tǒng).因此有關(guān)攝動理論及其在快慢系統(tǒng)問題和一類傳染病模型中的理論研究和應(yīng)用有非常重要的意義.
　　攝動理論從動力系統(tǒng)的角度出發(fā),以各種攝動方法為基礎(chǔ)進行研究.到目前為止,國內(nèi)外很多學(xué)者對攝動系統(tǒng)和快慢動力系統(tǒng),傳染病模

3、型做了很多研究.本論文在此基礎(chǔ)上,主要研究一類高階奇異攝動系統(tǒng)和快慢型動力系統(tǒng)非局部問題的解法,同時將攝動方法與傳染病模型結(jié)合做了相關(guān)的研究.
　　本論文主要研究以下幾個問題:
　　(1)針對一類高階奇攝動線性邊值問題,根據(jù)導(dǎo)數(shù)項階數(shù)的最高階與次高階的階數(shù)之差分情況進行降階,再利用多重尺度法,根據(jù)不同的邊界層引入伸長變量構(gòu)造該邊值問題的漸近解,并對此漸近解進行分析,得出了相應(yīng)的結(jié)論.
　　(2)將一般的快慢型動力系統(tǒng)推

4、廣到一類非線性快慢系統(tǒng)非局部問題.首先在適當?shù)貤l件下,利用攝動理論中的多重尺度法,根據(jù)不同的邊界層引入伸長變量和冪級數(shù)展開理論,構(gòu)造了問題的形式漸近解,證明了解的存在性,再利用微分不等式理論在整個區(qū)間上證明了形式漸近解的一致有效性.
　　(3)嘗試將攝動理論與SEIR傳染病模型相結(jié)合.首先從傳染病動力學(xué)研究方向?qū)Υ四Ｐ瓦M行了分析,然后利用攝動方法中的正則攝動法對此模型構(gòu)造了形式漸近解,再利用微分不等式理論證明了此解的存在性和有效性

5、.最后將利用兩種方法得出的模型結(jié)果進行數(shù)值仿真,并對仿真結(jié)果進行了分析與比較,驗證了攝動方法在該模型中的可行性.
　　本文利用攝動方法,微分不等式,冪級數(shù)理論以及邊界層理論等研究了三類攝動模型的求解方法.其中第二章根據(jù)已有的低階奇攝動模型建立了高階奇異攝動邊值問題,第三章在一般的快慢系統(tǒng)基礎(chǔ)上考慮了非局部問題,第四章將一類傳染病模型與攝動結(jié)合,在動力學(xué)分析的基礎(chǔ)上,利用攝動的方法對模型進行了分析,證明了該解法的可行性和合理性,為今