幾類微分系統(tǒng)的周期解或概周期的研究.pdf

1、眾所周知，1881年至1886年，亨利·龐加萊開創(chuàng)了常微分方程定性理論.研究積分曲線的形狀和奇點(diǎn)性質(zhì)的定性理論，其核心思想在于避開求解微分方程的通解，而從方程本身出發(fā)，直接地研究方程所定義的積分曲線的性質(zhì)，間接地獲得解的性質(zhì).周期解理論或概周期解理論作為定性理論的一個(gè)重要組成部分，在天文學(xué)、通信、服務(wù)系統(tǒng)、自動(dòng)控制和電子學(xué)等實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.例如，天文學(xué)和物理學(xué)中的三體問題，生態(tài)學(xué)中的Kolmogorov系統(tǒng)問題，化學(xué)中的三分子

2、模型，生物學(xué)中的人口合作與競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)等等.因此，研究微分方程的周期解或概周期解具有理論和實(shí)際的雙重價(jià)值.
　　 毋庸置疑，非平凡周期解能夠用來刻畫各種經(jīng)典非線性微分方程.孤立的周期解的存在性、不存在性、唯一性、穩(wěn)定性以及其它性質(zhì)，以發(fā)生在一個(gè)真空電子線路中的一種自持振動(dòng)的一條閉軌是極限環(huán)的事實(shí)為基礎(chǔ)，自VanderPol,Liénard及Andronov的努力開始，已被滲透到微分方程定性理論的研究中.在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，概周期

3、現(xiàn)象比周期現(xiàn)象更容易見到.一些諸如天體運(yùn)轉(zhuǎn)，生態(tài)環(huán)境以及市場(chǎng)供需規(guī)律等等日常生活中的問題所蘊(yùn)涵的微分方程的解就具有強(qiáng)烈的概周期規(guī)律.
　　 綜上所述，常微分方程周期解或概周期解的討論不但有助于豐富定性理論體系，而且將在處理應(yīng)用問題上起到至關(guān)重要的作用.
　　 本文主要研究了幾類常微分方程的周期解或概周期解，詳細(xì)篇章結(jié)構(gòu)如下.
　　 在第一章中，引述常微分方程周期解或概周期解問題的歷史背景和已有的研究成果，重點(diǎn)綜述

4、了本文的研究工作.
　　 在第二章中，研究了一類廣義Liénard系統(tǒng)非平凡周期解的存在性.首先討論初值問題解的存在唯一性問題，其次優(yōu)化了一些已有論文的條件，利用微分方程幾何理論給出此系統(tǒng)存在非平凡周期解的簡(jiǎn)潔條件，推廣和改進(jìn)了這些論文的結(jié)果.
　　 在第三章中，討論了一類(Ⅱ)方程的極限環(huán)與分支.引入無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，比較定理和Poincaré-Bendixson環(huán)域定理，利用微分方程幾何理論，給出此類方程的極限環(huán)存在性與大范

5、圍分支.推廣和改進(jìn)了存在的結(jié)果.
　　 在第四章中，分析了一類非多項(xiàng)式平面微分系統(tǒng)的極限環(huán).應(yīng)用形式級(jí)數(shù)法理論，獲得了判定原點(diǎn)為焦點(diǎn)或者中心的一些充分條件.給出兩個(gè)實(shí)例以說明新理論成果的有效性.
　　 在第五章中，探究了一類(n+1)次多項(xiàng)式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的類型.利用計(jì)算焦點(diǎn)量，分析了中心焦點(diǎn)問題.基于旋轉(zhuǎn)向量場(chǎng)理論和廣義Liénard系統(tǒng)，研究了極限環(huán)的存在性，并證明了至多存在一個(gè)極限環(huán)的事實(shí).通過Poi