半?yún)V模型和缺失數(shù)據(jù)下估計方程的經(jīng)驗似然推斷.pdf

1、作為一種非參數(shù)統(tǒng)計方法，經(jīng)驗似然自O(shè)wen(1988)年提出以來已經(jīng)得到越來越多的關(guān)注。它已經(jīng)廣泛用于構(gòu)造興趣參數(shù)和光滑函數(shù)的置信區(qū)域。許多文獻(xiàn)表明相比于正態(tài)逼近方法，經(jīng)驗似然有許多的優(yōu)勢。比如，由經(jīng)驗似然構(gòu)造的置信區(qū)域其形狀完全由數(shù)據(jù)決定，而且還具有域保持性和變換不變性。如今，作為一種重要的非參數(shù)統(tǒng)計方法，經(jīng)驗似然已經(jīng)成為非常有用的統(tǒng)計推斷工具。許多學(xué)者已經(jīng)把它應(yīng)用到線性模型，非參模型及半?yún)⒛Ｐ椭小?br>　　 然而，在許多的應(yīng)用領(lǐng)

2、域，比如工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會調(diào)查、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物醫(yī)學(xué)和流行病學(xué)等領(lǐng)域，由于各種各樣的原因我們很難獲得一些變量的精確測量或全部測量，因此會經(jīng)常遇到諸如測量誤差數(shù)據(jù)、缺失數(shù)據(jù)和刪失數(shù)據(jù)等復(fù)雜的數(shù)據(jù)。如何處理這些復(fù)雜數(shù)據(jù)進(jìn)而進(jìn)行有效的統(tǒng)計推斷已經(jīng)成為當(dāng)今統(tǒng)計界的研究熱點(diǎn)之一。本學(xué)位論文將研究測量誤差數(shù)據(jù)和缺失數(shù)據(jù)下的一些推斷，那就是我們將運(yùn)用經(jīng)驗似然這個工具來研究兩類有測量誤差的半?yún)⒛Ｐ秃陀腥笔?shù)據(jù)的估計方程，我們所做的工作進(jìn)一步拓寬了經(jīng)驗似然的應(yīng)

3、用領(lǐng)域。
　　 由于不能直接對感興趣的變量進(jìn)行觀測，而只能獲得它的替代值。一個簡單、經(jīng)典的測量誤差模型或者變量誤差模型(EV)模型假設(shè)W=X+U，其中X是興趣變量，W是變量X在與之獨(dú)立的可加測量誤差U下的一個替代值，滿足E(U)=0。對于簡單的線性EV模型及非線性EV模型人們已經(jīng)研究的很多了。隨著應(yīng)用技術(shù)的發(fā)展，半?yún)⒛Ｐ陀捎谄潇`活性和可解釋性也得到了很好的研究及廣泛的應(yīng)用。在半?yún)⒛Ｐ椭?，變系?shù)部分線性模型(VCPLM)和可加部分

4、線性模型(APLM)是兩類很常用的模型，這兩類模型都既有效地避免了非參模型的“維數(shù)禍根”問題(“curse ofdimensionality”)又都具有線性模型的可解釋能力。因此在本學(xué)位論文中，我們僅在經(jīng)典測量誤差模型下研究變系數(shù)部分線性模型(VCPLM)和可加部分線性模型(APLM)的推斷。具體地講，在第二章我們將運(yùn)用經(jīng)驗似然方法對變系數(shù)部分線性EV模型的參數(shù)和非參部分進(jìn)行推斷，對可加部分線性EV模型的經(jīng)驗似然推斷放到第三章。

5、　　 半?yún)?shù)變系數(shù)部分線性EV模型有如下的形式：
　　 其中Y是響應(yīng)變量，T，X和Z是回歸變量，β=(β1，…，βp)’是p維的未知參數(shù)，α(T)=(α1(T)，…，αq(T))’是q維的未知函數(shù)向量，ε是在給定X，Z，T的條件下零均值的隨機(jī)誤差。U是測量誤差，其均值為零，且與(X，Z，T)獨(dú)立。You和Chen(2006)研究該模型，對參數(shù)分量部分提出了修正的截面最小二乘估計，對非參部分提出了局部多項式估計，并證明了參數(shù)估計

6、具有相合性和漸近正態(tài)性，非參估計達(dá)到了最優(yōu)的收斂速度。但是他們沒有考慮參數(shù)和非參部分置信區(qū)域的構(gòu)造。如果我們采用正態(tài)逼近方法構(gòu)造置信區(qū)域，You和Chen(2006)的結(jié)果告訴我們由于參數(shù)估計的方差很復(fù)雜，因而這樣做很不方便。于是本學(xué)位論文將采用經(jīng)驗似然的方法對參數(shù)部分和非參部分分別構(gòu)造他們的置信區(qū)域。我們首先給出參數(shù)的一個估計函數(shù)，基于該估計函數(shù)，我們定義出未知參數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量log(R(β))，并在一定條件下證明統(tǒng)計量-2

7、log(R(β))漸近趨于標(biāo)準(zhǔn)卡方分布，因此可以用它來構(gòu)造置信區(qū)域。我們同時也證明了未知參數(shù)β的極大經(jīng)驗似然估計β是漸近正態(tài)的?；跇O大經(jīng)驗似然估計β，我們又提出了對未知函數(shù)α(t)基于殘差調(diào)整的下輔助隨機(jī)變量，并定義α(t)相應(yīng)的殘差調(diào)整經(jīng)驗對數(shù)似然比函數(shù)l(α(t))，證明了在一定條件之下-2l(α(t))的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)卡方。
　　 類似于第二章的思想，我們在第三章研究可加部分線性EV模型的經(jīng)驗似然推斷?？杉硬糠志€性EV模

8、型具有下面的形式：其中Y是響應(yīng)變量，X和Z=(Z1，…，ZD)’分別是RP和RD上的協(xié)變量，f1，…，F(xiàn)D是未知函數(shù)，β=(β1，…，βp)’是p維的未知參數(shù)，ε是隨機(jī)誤差，滿足在給定X和Z條件下均值為零。U是均值為零的測量誤差，并且與(X，Z，Y)獨(dú)立。為簡單起見，我們研究D=2的情況。為保證非參函數(shù)的可識別性，假設(shè)E{f1(Z1))=E{f2(Z2))=0，同時假設(shè)X和Y已中心化。通過對衰減的修正(correction-for-at

9、tenuation)，我們得到了未知參數(shù)基于糾衰(corrected-attenuation)下的輔助隨機(jī)變量作為其估計函數(shù)，然后定義相應(yīng)的基于糾衰的經(jīng)驗似然比函數(shù)。在沒有對非參函數(shù)要求欠光滑(undersmoothing)的條件下，我們證明了相應(yīng)統(tǒng)計量極限分布是標(biāo)準(zhǔn)卡方分布，因此基于該統(tǒng)計量很容易得到未知參數(shù)的置信區(qū)域。模擬結(jié)果表明：通過比較置信區(qū)域的覆蓋概率和平均長度，我們提出的方法要優(yōu)于Liang，Thurston，Duppert

10、，Apanasovich和Hauser(2008)提出的截面最小二乘方法?；趨?shù)β的經(jīng)驗似然比統(tǒng)計量，很容易得到它的極大經(jīng)驗似然估計β，進(jìn)而得到非參函數(shù)修正的后擬(backfitting)估計.因此，對非參函數(shù)我們又給出了其殘差調(diào)整的經(jīng)驗對數(shù)似然比統(tǒng)計量，并證明它仍具有非參的Wilk’s定理。值得一提的是在對非參函數(shù)f1(z1)進(jìn)行推斷時并不需要精確估計非參函數(shù)f2(z2)在任意點(diǎn)的值，只需知道f2(z2)修正的后擬估計在樣本觀測點(diǎn)處

11、的值即可。
　　 在第四章我們研究缺失數(shù)據(jù)下的估計方程。在Zhou，Wan和Wang(2008)的文章中，他們基于觀測到的數(shù)據(jù)用估計函數(shù)的非參估計進(jìn)行借補(bǔ)，定義了未知參數(shù)新的估計函數(shù)。由于非參估計的插入，導(dǎo)致估計函數(shù)是有偏的，基于該估計函數(shù)的經(jīng)驗似然比不再收斂于標(biāo)準(zhǔn)卡方，而是卡方變量的加權(quán)和，其中的權(quán)重是未知的(具體結(jié)果見Zhou，Wan和Wang(2008)文章中的定理3)。因此為了得到標(biāo)準(zhǔn)卡方分布，需要進(jìn)行調(diào)整，從而需要對未

12、知的調(diào)整因子進(jìn)行有效的估計。另外，非參估計時窗寬選擇需要欠光滑條件。這些都使得在構(gòu)造未知參數(shù)置信區(qū)域的時候使用起來很不方便。受到Xue(2009a)和Xue(2009b)文章的啟發(fā)，我們提出了用加權(quán)修正的方法來減非參估計的偏，定義新的估計函數(shù)，證明基于新的估計函數(shù)下未知參數(shù)的經(jīng)驗對數(shù)似然比函數(shù)漸近于標(biāo)準(zhǔn)卡方，這一結(jié)果不同于Zhou，Wan和Wang(2008)得到的結(jié)果。因此我們的方法避免了對未知調(diào)整因子的估計，而且可以用基于數(shù)據(jù)(da