關于矩陣填充和非負矩陣的研究.pdf

1、本論文分五個部分.在第一部分,我們研究了部分整數矩陣填充為單模矩陣的問題；在第二部分,我們研究了給定非本原指標的不可約非負矩陣正元素的可能個數；在第三部分,我們考慮了兩個非負矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和兩個M-矩陣Fan積的最小特征值的下界；在第四部分,我們考慮了Kahan保范擴張定理中待定矩陣的一般解；最后我們考慮了部分半正定矩陣的唯一填充問題. 1.部分整數矩陣的填充問題我們證明了如果一個部分整數矩陣有一條自由對角

2、線,那么這個矩陣能被填充為一個單模矩陣.這樣一個條件從一般意義上講也是必要的.隨后我們證明了如果-個n×n(n≥2)部分整數矩陣有2n-3個確定的元素并且這些元素中任何n個不構成一行或一列,那么這個矩陣能被填充為一個單模矩陣.這個結果改進了詹的-個最近的結果. 2.非本原矩陣正元素的可能個數在[31]中,詹確定了一個給定非本原指標的不可約非負矩陣的正元素的最大個數和最小個數.令σ(A,k)表示給定非本原指標為k的不可約非負矩陣A

3、的正元素的個數.令M(n,k)和m(n,k)分別表示n階非本原指標為k的不可約非負矩陣的正元素的最大個數和最小個數.詹曾提出下面的問題：設正整數d滿足m(n,k)≤d≤M(n,k),是否存在非本原指標為k的一個不可約非負n階矩陣A使得d=σ(A,k).我們給出了肯定的回答. 3.非負矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和M-矩陣Fan積的下界我們給出了兩個非負矩陣Hadamard積的譜半徑的上界和兩個M-矩陣Fan積的下界.這兩

4、個界改進了已知的兩個結果. 4.Kahan的保范擴張定理中待定矩陣的一般解的表達式在1967年,Kahan得到了一個矩陣擴張定理：假設H ∈Cι×ι是Hermitian并且B ∈Cs×ι.R=(H B).用‖.‖2表示譜范數.那么存在一個W ∈Cs×s使得A=(H B B* W)是Hermitian并且‖A‖2=‖R‖2.Kahan并沒有給出W的一個顯示表達式.在[11]中,Davis,Kahan,和Weinberger推廣了K

5、ahan的矩陣擴張定理.他們證明了如果給定矩陣A,B,C則存在解D使得‖(A B C D)‖2=max{‖(A B)‖2,‖(A C)‖2}并且隨后構造了所有的解D.令e=‖ R ‖ 2.在[34,35]中,征證明了我們可以取W=-BH(e2I-H2)+B*.進一步,不等式B(eI+H)+B*-eI≤W≤eI-B(eI-H)+B*給出了Kahan的定理中解W的表達式.征用廣義逆形式給出W是新的想法.在本章,我們將給出Davis,Kaha