幾類特征值優(yōu)化的空間分解方法.pdf

1、近二十年來，特征值優(yōu)化問題得到了人們廣泛關(guān)注.在現(xiàn)實(shí)中很多實(shí)際問題都可以轉(zhuǎn)化為極小化特征值函數(shù)的優(yōu)化問題，例如最優(yōu)控制、組合優(yōu)化、信號(hào)恢復(fù)、最優(yōu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)、機(jī)器人、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、模型優(yōu)化等等.因此，研究求解這類函數(shù)的算法，同時(shí)具有重要的理論意義與實(shí)用價(jià)值.雖然這類函數(shù)一般是不光滑的，不過由于其具有好的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，因此存在某種光滑的子結(jié)構(gòu).基于uv-分解理論，利用某個(gè)中間函數(shù)-u拉格朗日函數(shù)，就得到在某個(gè)光滑流形上函數(shù)的二階展開形式.
　　

2、目前，求解特征值優(yōu)化的非光滑方法主要有次梯度法與束方法.然而，這兩類算法的收斂速度很慢（至多線性），而本文所研究的求解幾類特征值優(yōu)化問題的uv-分解算法，它具有超線性收斂速度.
　　論文所闡述的主要結(jié)果可概括如下:
　　1.第二章主要研究了關(guān)于一類特殊的特征值函數(shù)-最大特征值和函數(shù)的uv分解理論.這里u-拉格朗日理論被應(yīng)用到這類函數(shù)上面，當(dāng)橫截性條件成立時(shí)，得到u-拉格朗日函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).這樣就得到最大特征值和函數(shù)在某

3、個(gè)光滑軌道上的二階展開形式.
　　2.第三章考慮求解一類比最大特征值更一般的特征值函數(shù)的uv分解理論:任意特征值函數(shù)λi，它是一類D.C.函數(shù).運(yùn)用u-拉格朗日函數(shù)理論，當(dāng)橫截性條件成立，可以獲得u-拉格朗日函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).并且，給出了一個(gè)概念型算法，它具有較快的局部收斂速度.另外，我們可以把獲得的結(jié)果應(yīng)用到一些實(shí)際優(yōu)化問題:低秩矩陣優(yōu)化問題.
　　3.第四章研究了一類最大特征值函數(shù)，帶有矩陣值凸映射的最大特征值函數(shù)的

4、空間分解理論.這里借助于中間函數(shù)-u-拉格朗日函數(shù)，當(dāng)正則性條件成立時(shí)，就可以得到u-拉格朗日函數(shù)的一階和二階導(dǎo)數(shù).利用uv-分解方法，研究了最大特征值函數(shù)λ1的二階分析.沿著滿足橫截性條件的光滑軌道x(u)，存在λ1的二階展開形式.進(jìn)一步地，描述了一個(gè)證明具有局部超線性收斂速度的概念型算法.此外，該步驟表明得到的結(jié)果可以被用來處理某些實(shí)際的優(yōu)化問題:非線性凸半定規(guī)劃.另外，提供了對(duì)雙線性矩陣不等式問題與關(guān)于矩陣變量的最大特征值的有效u