倒向隨機(jī)Volterra積分議程的理論及相關(guān)問題.pdf

1、自Pardoux和Peng[47]的奠基性工作之后，非線性倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)稱BSDE)Y(t)=ξ+∫Ttg(s,Y(s),Z(s))ds-∫TtZ(s)dW(s),t∈[0，T](1)憑借其在隨機(jī)控制，偏微分方程及金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用而得到相當(dāng)大的關(guān)注。另一方面，作為BSDEs的非平凡推廣，本文著重研究如下方程，倒向隨機(jī)Volterra積分方程(簡(jiǎn)稱BSVIE)，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Ttg(t,s,Y(s),Z(s，t

2、),Z(t,s))ds-∫TtZ(t,s)dW(s),t∈[0,T].(2)我們給出本文的如下組織結(jié)構(gòu)。
　　 在第一章，我們簡(jiǎn)要介紹第二章到第六章中所討論的問題，及相關(guān)符號(hào)說明。
　　 受方程(2)在空間H2[0，T]中適應(yīng)解的非唯一性啟示，在第二章中我們引入對(duì)稱解（簡(jiǎn)稱S-解）的概念，給出此時(shí)方程的適定性.同現(xiàn)有的文獻(xiàn)相比，我們推廣且修正了[38]中的主要結(jié)論，通過數(shù)個(gè)例子給出了同[69]中M-解的區(qū)別和聯(lián)系。最后，

3、我們給出了一類由對(duì)稱解所導(dǎo)出的關(guān)于過程的動(dòng)態(tài)相容風(fēng)險(xiǎn)度量.
　　 同BSDE相比，由于BSVIEs結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且不具備半群性，Yong[69]引入四步方法來處理區(qū)間[0，T]上M-解的存在唯一性。然而，其思路過于復(fù)雜，進(jìn)而很難處理更一般的比如停時(shí)或者無窮區(qū)間情形，故在第三章中我們引入新的簡(jiǎn)便的方法來研究BSVIE。通過一個(gè)簡(jiǎn)單的反例，我們修正和推廣了[53]中關(guān)于M-解的結(jié)論.而對(duì)于空間H2△[0，T]中適應(yīng)解，我們給出了隨機(jī)非李

4、普希茲條件下的適應(yīng)解的存在唯一性，進(jìn)而改進(jìn)和推廣了[38]和[66]中的結(jié)論。
　　 比較定理是SDEs和BSDEs理論中的基本課題，所以在第四章我們系統(tǒng)的研究了倒向隨機(jī)Volterra積分方程關(guān)于H2△[0，T]適應(yīng)解及H2[0,T]中M-解的比較定理。由于此研究框架的一般性，為了保證解比較定理成立，我們需要假設(shè)一些單調(diào)性條件。完整起見，我們也給出了關(guān)于SDEs，BSDEs和SVIEs解的比較定理，其中對(duì)偶原理在相關(guān)的證明中發(fā)

5、揮了重要作用。同時(shí)，各種例子和反例也表明了此時(shí)所假設(shè)條件的必要性.
　　 在第五章，我們研究了關(guān)于正倒向隨機(jī)Volterra積分方程(簡(jiǎn)稱FBSVIE)的最優(yōu)控制問題。由于生成元g依賴于Z(s，t)而非Z(t，s)，故此問題有許多新的特性產(chǎn)生，而非對(duì)[50]中FBSDEs情形的簡(jiǎn)單推廣，見下面第一章第四節(jié)。作為應(yīng)用，我們考慮了線性二次問題和兩個(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，這深化了[7]，[23]和[32]中的研究.最后我們給出一類特殊線性FBS

6、VIEs的優(yōu)化問題。特別的，這里的結(jié)論也改進(jìn)了文獻(xiàn)[45]。
　　 受[13]和[14]中平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程的啟示，在第六章中我們引入平均場(chǎng)倒向隨機(jī)Volterra積分方程(簡(jiǎn)稱MFBSVIE)，并討論了空間Hp[0，T]中的M-解.若p＞2，則生成元和相應(yīng)的非局部項(xiàng)關(guān)于Z(s，t)需假設(shè)為次線性增長(zhǎng)，且其假設(shè)的必要性又通過巧妙的例子來得到印證。據(jù)我們所知，這一點(diǎn)不同于BSDEs的Lp解理論。我們也給出了關(guān)于平均場(chǎng)SVIEs

7、和平均場(chǎng)BSVIEs的對(duì)偶原理，并由此得出另一個(gè)有趣的結(jié)論。最后，利用正向方程的對(duì)偶原理，我們建立了相應(yīng)方程最優(yōu)控制問題的最大值原理。
　　 現(xiàn)在我們給出本論文的主要結(jié)論.
　　 1、倒向隨機(jī)Volterra積分方程的對(duì)稱解及應(yīng)用
　　 本章內(nèi)容來自于以下文獻(xiàn)，
　　 TIANXIAOWANGANDYUFENGSHI，SymmetricalsolutionsofbackwardstochasticVolt

8、erraintegralequationsandapplications.publishedinDis.Cont.Dyn.Syst.Series-B，14，2010，251-274.
　　 對(duì)于BSVIE(2)，Yong在空間H2[0，T]中引入如下的M-解，
　　 定義2.1.1令S∈[0，T].若過程(Y(·)，Z(·，·)∈H2[S,T]滿足方程(2)，且對(duì)于幾乎所有的t∈[S,T]，Y(t)=(E)FsY(t)+

9、∫tsZ(t,s)dW(s),t∈[0，T]，則稱(Y(·)，Z(·，·)∈H2[S，T]為方程(2)的M-解.
　　 另一方面，由于第一章中例1.1.1可知方程(2)在空間H2[0,T]中的解不唯一，故這里我們引入如下對(duì)稱解（簡(jiǎn)稱S-解）的概念，
　　 定義2.1.2令S∈[0，T]。若過程(Y(·)，Z(·，·)∈*H2[S，T]滿足方程(2)，且對(duì)于t∈[S,T]，有Z(t,s)=Z(s,t),t,s∈[S，T]，

10、則稱(Y(·)，Z(·，·)∈*H2[S,T]為方程(2)的對(duì)稱解.
　　 注意這里H2[S,T]是*H2[S,T]的子空間，且此新空間*H2[S,T]引入的必要性可參見下面的例1.1.2.
　　 這一章的主要結(jié)論為，
　　 定理2.1.4假設(shè)g關(guān)于y，ζ和z滿足李普希茲條件，其中L為滿足一定可積性的李普希茲函數(shù)，(Ψ)(·)∈L2FT(0，T;(R)m)，則方程(2)存在唯一的S-解，且對(duì)于S∈[0，T]，||

11、(Y(·)，Z(·，·))||2·H[S,T]≡(E){∫TS|Y(t)|2dt+∫TSTTST|Z(t,s)|2dsdt}≤CE{∫TS|(Ψ)(t)|2dt+∫TS(∫Tt|g0(t,s)|ds)2dt}.利用定理2.1.4，我們可修正和推廣Lin[38]中關(guān)于適應(yīng)解的結(jié)論。而且通過注2.2.4，注2.2.5，注2.2.8中的若干例子，我們給出了S-解和M-解的區(qū)別和聯(lián)系。最后，我們給出S-解在風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用.準(zhǔn)確來講，通過定義ρ

12、(t;(Ψ)(·))=Y(t)，其中t∈[0,T]，(Y(·)，Z（·，·））是方程(3)的對(duì)稱解，Y(t)=-(Ψ)(t)+∫Tt(f(t,s,Y(s))+T1(s)Z(t,s)+r2(s)Z(s,t))ds-∫TtZ(t,s)dW(s).(3)我們有下面的結(jié)論，
　　 定理2.3.7假如f(t，s，y)=η(s)y,其中η(·)有界確定函數(shù)，則ρ(·)是關(guān)于過程(Ψ)的動(dòng)態(tài)相容風(fēng)險(xiǎn)度量。
　　 關(guān)于此時(shí)風(fēng)險(xiǎn)度量的定義

13、，見第二章定義2.3.1和2.3.2.
　　 2、倒向隨機(jī)Volterra積分方程:新思路
　　 本章內(nèi)容來自于文獻(xiàn)
　　 YUFENGSHIANDTIANXIAOWANG,SolvabilityofgeneralbackwardstochasticVolterraintegralequations.PublishedinJ.Korean.Math.Soc,49,2012,1901-1921.本章的第一個(gè)目的是提

14、供更簡(jiǎn)便的思路來研究M-解.受ElKaroui和Huang[25]的啟示，我們?cè)诳臻gH2[0，T]中引入如下的范數(shù)，||(y(·)，z(·，·))||H2[0，T]=[(E)∫T0eβA*(t)|y(t)|2dt+(E)∫T0∫T0TeβA*(s)|z(t，s)|2dsdt]1/2，其中β是正常數(shù)，且A*(t)=∫t0α2p/2-p(s)ds，α(·)≥1是適應(yīng)過程.這就有如下的關(guān)于M-解的估計(jì)，(E)∫T0eβA*(s)|Y(s)|2

15、ds+(E)∫T0∫TteβA*(s)|Z(t,s)|2dsdt≤C(E)eβA*(T)∫T0|(Ψ)(t)|2dt+C(E)∫T0eβA*(t)|∫Ttf(t,s)ds|2dt+C(E)∫T0∫Ttβα2p/2-p(s)eβA*(s)|∫Tsf(t,u)du|2dsdt.其中p∈[1，2），其證明見以下引理3.2.1.然后，由不動(dòng)點(diǎn)原理即可知區(qū)間[0，T]中解的適定性，
　　 定理3.2.4假如g滿足|g(t，s，y，z，ζ)

16、-g(t，s，(y)，(z)，(ζ))|≤L(t，s)α(s)(|y-(y)|+|z-(z)+|ζ-(ζ)|)這里(Ψ)(·)∈L2,βFT(0，T;(R)m)，1/p+1/q=1，supt∈[0,T](∫TtLq(t,s)ds)2/q＜∞,(E)∫T0∫TteβA*(s)|g(t,s,0,0,0)|2dsdt＜∞，α(·)是確定的，且A*(·)有界，則方程(2)在空間H2[0，T]中存在唯一的M-解.若g不含有Z(s，t)，則α可允許

17、為隨機(jī)過程，進(jìn)而有，
　　 定理3.2.7假如定理3.2.4中條件成立，g不含有Z(s，t)，α為適應(yīng)過程，A*(·)有界，則BSVIE(2)在空間H2△[0,T]上存在唯一的適應(yīng)解。
　　 近來Ren[53]利用Anh和Yong[6]中的方法考慮了非李氏條件下M-解的存在唯一性。然而，其第7頁的劃分步驟存在問題，見下面的例3.3.1。故這里我們引入更弱的條件和不同的辦法來修補(bǔ)此漏洞。利用上述范數(shù)，我們可得方程(2)在非

18、李氏條件下M-解的存在唯一性，進(jìn)而修正和推廣了[6]，[53]，[67]，[68]和[69].
　　 定理3.3.3對(duì)于(t，s)∈△，假如g滿足|g(t，s，y，z，ζ)-g(t，s，(y)，(z),(ζ)|≤L(t，s)α(s)[(ρ(|y-(y)|2)）1/2≥+|z-(z)+|ζ-(ζ)|]，其中ρ為R+到自身的遞增凹函數(shù)使得ρ(0)=0，∫0+du/ρ(u)=∞。(Ψ)(·)∈L2FT(0，T;(R)m)，α(·)為確

19、定的，L(t，s)滿足suopt∈[0,T](∫TtLq(t，s)ds)2/q＜∞，則方程(2）在空間H2[0，T]上存在唯一的M-解。
　　 3、倒向隨機(jī)Volterra積分方程的比較定理
　　 本章的結(jié)論來自于，
　　 TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,ComparisontheoremofbackwardstochasticVolterraintegralequations.Submi

20、ttedtoStochasticProcessandtheirapplication
　　 在這一章，我們將系統(tǒng)的研究多維倒向隨機(jī)Volterra積分方程的比較定理.完整起見，我們首先考慮正向隨機(jī)微分方程的情形，見[27]，[51]。
　　 下面的結(jié)論是關(guān)于非線性SDEs，即對(duì)于i=0，1Xi(t)=x2+∫tsbi(r,Xi(r))dr+∫tsσ(r,Xi(r))dW(r),t∈[s，T]，(4)
　　 定理4

21、.2.2.令bi，σ關(guān)于x李普希茲，bi(s，0)，σ(s，0)是有界過程。假如存在(b)使得(b)x(t，x)一致有界.若(b)x(t，x)∈(R)n*+，σx(t，x)∈(R)n×nd，(t，x)∈[0，T]×(R)n，(5)且b0(t，x)≤b(t，x)≤b1(t，x).那么對(duì)于(s，xi)∈[0，T)×(R)n，x0≤x1，方程(4)唯一的解Xi(·)≡Xi(·;s，xi)滿足X0(t)≤X1(t)，t∈[s，T]。反過來，若b

22、0(t，x)=(b)(t,x)=b1(t，x)，(t，x)∈[0，T]×(R)n，且(t，x)→((b)(t，x)，σ(t，x))連續(xù)。那么(5)對(duì)于比較定理的成立是必要的.
　　 現(xiàn)在我們研究非線性BSDEs?？紤]n-維BSDEs:其中i=0，1，τ為取值于[0，T]上的F-停時(shí)，Yi(t)=(ζ)i+∫Ttgi(s,Yi(s),Zi(s))ds-∫TtZi(s)dW(s)，t∈[0,τ].(6)
　　 定理4.2.4

23、.假如gi關(guān)于y和z滿足李普希茲條件，gi(s，0，0)有界.若存在(g)使得(g)y（s，y，z），(g)z(s，y，z)一致有界。而且(g)y(s，y，z)∈(R)n×n*+，(g)z（s，y，z）∈(R)n×nd，(s，y，z)∈[0，T]×(R)n×(R)n，(7)g0(s，y，z)≤(g)(s，y，z)≤g1(s，y，z)。則對(duì)于任意(F)-停時(shí)τ及(ζ)0，(ζ)1∈L2Fτ(Ω;(R)n)，其中(ζ)0≤(ζ)1，方程(6

24、)的解(Yi(·)，Zi(·))滿足Y0(t)≤Y1(t)，t∈[0，τ]。反過來，若g0（s，y，z）=g（s，y，z）=g1(s，y，z)，(s，y，z)∈[0，T]×(R)n×(R)n，(s，y，z)→（g）（s，y，z）連續(xù)，則條件(7)也是必要的.
　　 由于這里g0(·)和g1(·)在充分條件的證明中是不同的，故推廣了[29]中相應(yīng)結(jié)論。最后，我們指出這里的證明是基于對(duì)偶性原理及線性SDEs的相關(guān)結(jié)論，這不同于文獻(xiàn)[

25、29]。
　　 現(xiàn)在我們考慮正向隨機(jī)Volterra積分方程，X(t)=(φ)(t)+∫t0A0(t,s)X(s)ds+∫t0A1(s)X(s)dW(s),t∈[0，T].(8)
　　 命題4.2.8.若A0，A1有界，t→A0(t，s)在區(qū)間[s,T]上連續(xù)。
　　 (i)假如A0(t，s)∈(R)n×n+，A1(s)=0，（t,s）∈△*.那么(8)存在唯一解X(·)且它滿足X(t)≥(φ)(t)≥0，t∈[

26、0，T]。
　　 (ii)假如A0(t，s)∈(R)n×n*+，A1(s)∈(R)n×nd，這里(t，s)∈△*。而且，存在連續(xù)非遞減函數(shù)ρ:[0，T]→[0，∞），ρ(0)=0使得|A0(t,s)-A0(t',s)|≤ρ(|t-t'|),t,t'∈[0,T],s∈[0,t∧t']，A0(τ，s)-A0(t，s)∈(R)n×n+，其中0≤s≤t≤τ≤T。則對(duì)于任意的(φ)(·)∈CF([0，T];L2(Ω，(R)n))，(φ)（

27、τ）≥(φ)(t)≥0，0≤s≤t≤τ≤T，方程(8)存在唯一的解X(·)∈CF([0,T];L2(Ω;(R)n))，且它滿足X(t)≥0，t∈[0,T].
　　 現(xiàn)在回到關(guān)于BSVIEs的比較定理，由于其形式復(fù)雜，故這里的理論要比BSDEs情形更加豐富。首先，考慮BSVIE(2)，其中g(shù)(·)不依賴于Z(s，t)。對(duì)于i=0，1，Yi(t)=(φ)i(t)+∫Ttgi(t，s，Yi(s),Zi(t，s))ds-∫TtZi(t，

28、s)dW(s)，t∈[0，T].(9)
　　 定理4.3.2.若(Yi，Zi)是方程(9)的解。(g):△×(R)×(R)n×Ω→(R)n滿足某種可測(cè)性，（y，z）(→g)(t，s，y，z)一致李普希茲，y(→g)（t，s，y，z）是非遞減的，使得g0（t，s，y，z）≤(g)(t，s，y，z）≤g1（t，s，y，z），(t，s，y，z)∈△×(R)×(R)n，(g)(t，s，y，z)存在，且(g)z(t，s，y，z)∈(R)n

29、×nd.則對(duì)于任意滿足(Ψ)0(t)≤(Ψ)1(t)的(Ψ)i(·)∈CFr([0，T];L2(Ω;(R)n))，BSVIE(9)相應(yīng)的解滿足Y0(t)≤Y1(t).
　　 若我們考慮下面的線性方程，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt[A(t,s)Y(s)+B(s)Z(t,s)]ds-∫TtZ(t,s)dW(s),t∈[0，T].(10)則上述定理4.3.2意味著A(t，s)應(yīng)該屬于(R)n×n+.然而，事實(shí)上，我們可以改進(jìn)此條件如

30、下，
　　 定理4.3.6.若A和B一致有界，且對(duì)于s∈[0，T]，t(→)A（t,s）連續(xù).而且A(t,s)∈Rn×n*+，這里(t,s)∈△,A(t,s)-A(τ,s)∈(R)n×n+,0≤t≤τ≤s≤T,B(s)∈(R)n×nd，s∈[0，T].則對(duì)于任意的(Ψ)(·)∈CFT([0，T];L2(Ω;(R)n))，其中(Ψ)(t)≥(Ψ)(s)≥0，0≤t≤s≤T線性BSVIE(10)的解(Y(·)，Z(·，·))滿足Y(

31、t)≥0，t∈[0，T].
　　 第二種情形是考慮當(dāng)g(·)依賴于Z(s，t)而非Z(t，s)時(shí)的M-解。下面的例4.3.8表明我們應(yīng)該考慮如下線性BSVIEs的M-解的比較定理，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt(A(t，s)Y(s)+C(t)Z(s，t))ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0，T].(11)
　　 定理4.3.9.若A和C一致有界，且對(duì)于s∈[0，T]，t(→)A(s，t)連續(xù)。而且A(t，s)∈

32、(R)n×n*+，(t，s)∈△，A(s，τ)-A(s，t)∈(R)n×n+，s≤t≤τ≤T，s∈[0，T]，C(t)∈(R)n×nd，t∈[0，T].則當(dāng)(Ψ)(·)∈CFT(0，T;L2(Ω;(R)n))且(Ψ)(·)≥0，線性BSVIE(11)的解(Y(·)，Z(·，·))滿足EFt∫TtY(s)ds≥0，t∈[0，T].
　　 這里更正了文獻(xiàn)[67]和[68]中的相應(yīng)結(jié)論。
　　 4、正倒向隨機(jī)Volterra積

33、分方程的最大值原理及應(yīng)用
　　 本章內(nèi)容來自于，
　　 YUFENGSHI,TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,Optimalcontrolproblemofforward-backwardstochasticVolterraintegralequationsandapplications.preprint在這一章，我們給出正倒向積分方程最優(yōu)控制問題的最大值原理.準(zhǔn)確來講，我們記Mv(t)=(E)Ft

34、∫TtYv(s)ds，Nv(t)=∫TtZv(s,t)ds，t∈[0，T]，狀態(tài)方程為{Xv(t)=(Ψ)(t)+∫t0b(t，s,Xv(s)，v(s))ds+∫t0σ(t,s，Xv(s),v(s))dW(s),Yv(t)=(Ψ)(t)+∫Ttg(t,s，Xv(t)，Xv(s)，Yv(s)，Zv(s，t)，v(t)，v(s)，λv(s，t))ds(12)-∫TtZv(t,s）dW(s)，指標(biāo)函數(shù)表示為，J(v(·))=(E)[∫T0l(

35、s,Xv(s),Mv(s),Yv(s),Nv(s),v(s))ds+h(X(T))+γ((E)∫T0Y(s)ds)].(13)這里給定s∈[0，T]，λv由v(s)=(E)v(s)+∫t0λv(s，r)dW(r)確定.當(dāng)控制區(qū)域?yàn)橥辜蠒r(shí)，我們要最小化上述指標(biāo)函數(shù).
　　 定理5.2.3假如u(·)是最優(yōu)控制，(Xu(·)，Yu(·)，Zu(·，·))是相應(yīng)的FBSVIE(12)的M-解。那么我們有，(A)u∈uH(t,Xu(t

36、),Yu(t),Zu(t，·),u(t)，P(t),Q(t),R(·，t))·(u-u(t))≥0,a.e.，a.s.其中H(t,Xu(t),Yu(t),Zu(t,·),u(t),P(t),Q(t)，R(·,t))=luv(t)+buv(T,t)(E)Fthx(Xu(T))+σuv(T，t)θu(t)+P(t)(E)Ft∫Ttgu'（t,s）ds+∫t0guv(s，t)·P(s)ds+∫t0P(s)(E)Fsgλ(s，t)dW(s)+(

37、E)Ft∫TtR(s，t)σuv(s，t)ds+(E)Ft∫TtQ(s)buv(s，t)ds，（P,Q，R）是以下FBSVIE的M-解，{P(t)=lug(t)+γy((E)∫T0Yu(s)ds)+∫t0luM(s)ds+∫t0luN(s)dW(s)+∫t0guy(s,t)P(s)ds+∫t0(E)Fsguz(s，t)·P(s)dW(s)，Q(t)=lux(t)+∫gux(s，t)P(s)ds+P(t)∫Ttgux'(t，s)ds+bx

38、(T,t)hx(Xu(T))+σx(T,t)θu(t)+∫Ttbux(s,t)Q(s)ds+∫Ttσux(s,t)R(s,t)ds-∫TtR(t,s)dW(s),hx(Xu(T))=(E)hx(Xu(T))+∫T0θu(s)dW(s).
　　 由于此時(shí)我們不能使用伊藤公式，故這里的方法絕不是對(duì)[50]情形的直接推廣.同經(jīng)典文獻(xiàn)[49]和[50]相比，在我們的問題中會(huì)有一些新的特性產(chǎn)生，見第一章第五節(jié).
　　 之后，我們給

39、出關(guān)于FSBVIEs的線性二次控制問題，而且在某些條件下它可以退化成[50]中的FBSDEs情形.而且這里關(guān)于BSVIE的線性二次問題的研究也是新的。
　　 作為應(yīng)用，我們?cè)诰€性FBSVIE的框架下研究?jī)蓚€(gè)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，即隨機(jī)投入-產(chǎn)出模型和隨機(jī)資本轉(zhuǎn)換（或重置）模型，這發(fā)展和深化了[7]，[23]和[32]中的相關(guān)研究.對(duì)于前一個(gè)模型，狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)可表示為(12)和(13)，其中b=h1(t，s)u(s)，σ=h2(t,s

40、)v(s)，(φ)(t)=X(0),g=-h1(T,s)v(s)+f(t)(Z)(s,t)-f(t)[T-s]λ(s,t)[f(s)h2(T,s)+h1(T,s)]，l=δ[y-[T-s][h2(T,s)f(s)+h1(T，s)]v]，h(x)=-(U)(x)。對(duì)于倒向方程中λu(s，t)的出現(xiàn)，見下面5.3.2部分.所以我們有下面的結(jié)論，
　　 定理5.3.2假如u(·)是最優(yōu)解，那么對(duì)于t∈[0，T]，0=-(E)Fth1(

41、T，t)(u)x(Xu(T))-h2（T，t）θu(t)-h1(T，t)∫t0P(s)ds+[∫t0P(s)f(s)dW(s)-δ](T-t）[f(t)h2(T,t)+h1(T，t)]，這里P(t)=δ+∫t0f(s)P(s)dW(s)，(U)x（X（T））=(EU)x（X（T））+∫θu(s)dW(s).
　　 對(duì)于隨機(jī)資本轉(zhuǎn)換模型，狀態(tài)方程為(12)，其中b=M(t-s)v(s)，σ=N(t-s)v(s)，(φ)(t)=0，

42、g=-h1(T,s)v(s)+f(t)(Z)(s，t)-f(t)[T-s]λ(s,t)[f(s)h2(T,s)+h1(T,s)].且指標(biāo)函數(shù)為(13)，其中l(wèi)=δ[y-[T-s][h2(T,s)f(s)+h1(T,s)]v]-α(t)[P'(s，x)-v],所以，我們有下面的結(jié)論，
　　 定理5.3.4若u(·)是最優(yōu)解，那么對(duì)于t∈[0，T]，0=-α(t)+(E)Ft（∫TtM（s-t）Q(s)ds+∫TtN(s-t)R(s

43、，t)ds）-L(t)(14)L由模型確定.特別的，若p(t，x)=x-γ/2x2，γ＞0，則(14)也可表示為，u(t)∫TtN2(s-t)ds=α(t)+L(t)-(E)Ft∫TtM(s-t)α(s)[1-γXu(s)]ds-(E)Ft∫Ttλ(u，t)（∫TuM（s-u）N(s-t)ds)du.
　　 最后，我們研究了一個(gè)特殊的優(yōu)化問題，其中狀態(tài)方程和指標(biāo)函數(shù)為(12)和(13)，其中(φ)=x0，b=α(s)v(s)，σ

44、=β(s)v(s)，g=-l1(s)x+l2(s)v+r(s)y+kγ(s)ζ，l=-l1(s)x-l2(s)v+2r(s)y，h(x)=-h'(x），則
　　 定理5.3.5假如u是最優(yōu)解，h'(x)=x-γ/2x2，α，α-1，β，β-1是有界過程使得(E)e-A(T)|Xu（T）|＜∞，(E)e-A(T)∫T0|(D)tXu(T)|2dt＜∞，(E)e-A(T)|Xu（T）|∫T0∫T0(D)tα(s)/β(s)d(w)(

45、s)＜∞，這里A和W定義為，A(t)=∫t0α(s)/β(s)dW(s)+∫t0α2(s)/β2(s)ds，(W)(t)=∫t0α(s)/β(s)+W(t)，那么對(duì)于G=[(E)M1(T)e-A(T)-x]/(E)e-2A(T)，其中M1是由系數(shù)決定的適應(yīng)過程，u(·)可表示為，u(t)=1/β(t)e-A(t)(E)Ft[e-A(T)(D)tM1（T）-e-A(T)G(D)te-A(T)]-1/β(t)e-A(t)(E)Ft[e-A(

46、T)（M1(T)-e-A(T)G）∫Tt(D)t（α(s)/β(s)）d(w)(s)].
　　 5、平均場(chǎng)倒向隨機(jī)Volterra積分方程及應(yīng)用
　　 本章內(nèi)容來自于，
　　 YUFENGSHI,TIANXIAOWANGANDJIONGMINYONG,MeanfieldbackwardstochasticVolterraintegralequations,.被雜志Dis.Cont.Dyna.Syst.Series

47、B.接受
　　 在這一章，我們研究如下形式的倒向方程，Y(t)=(φ)(t)+∫Ttg(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t)，Γ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t)))ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0，T]，其中Γ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s，t))=(E)'[θ(t,s,Y(s),Z(t,s),Z(s,t))]=∫θΩ(t,s,ω',ω,Y(s,ω'),Z(t,s,ω'),Z(s,t,

48、ω'),Y(s,ω),Z(t,s,ω),Z(s,t,ω))(P)(dω').
　　 定理6.3.2.假如θ和g滿足李普希茲條件，且|θ(t,s,y,z，(z),y'，z'，(z)')|≤L(1+|y|+|z|+|(z)|2/q+|y'|+|z'|+|(z)'|2/q)|g(t,s，y，z，(z)，γ)|≤L(1+|y|+|z|+|(z)|2/q+|γ|),其中2≤q＜∞。則對(duì)于任意的Ψ(·)∈LqFT（0，T;(R)n），方程(

49、15)存在唯一M-解(Y(·)，Z(·，·))∈Mq[0，T]，且下面的估計(jì)成立，||(Y(·),Z(·，·))||Mq[0，T]≤K1+||(Ψ)(·)||LqFT(0，T;(R)n)）.當(dāng)p∈(1，2]，Wang[61]討論了BSVIEs的Lp解.當(dāng)然我們也可利用[61]中的方法來處理p∈(1，2)的情形。另一方面，若映射θ是關(guān)于(z)和(z)'線性增長(zhǎng)，盡管Ψ(·)∈LpFTT(0，T;(R)n)，方程(15)的M-解(Y(·)，

50、Z(·，·))有可能不屬于MP[0，T]，p＞2，見下面的例6.3.3。
　　 下面我們給出關(guān)于平均場(chǎng)SVIEs和平均場(chǎng)BSVIEs的對(duì)偶原理。首先，考慮方程X(t)=(φ)(t)+∫t0(A0(t,s)X(s)+(E)'[C0(t,s)X(s)])ds(16)+∫t0(A1(t,s)X(s)+(E)'[C1(t,s)X(s)])dW(s),t∈[0,T].我們有下面關(guān)于平均場(chǎng)SVIEs的結(jié)論，
　　 定理6.4.1.假

51、如(φ)(·)，(Ψ)(·)∈L2F（0，T;(R)n），X（·）∈L2F（0，T;(R)n）是方程(16)的解，且(Y(·)，Z(·，·))∈M2[0，T]是如下方程的M-解，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt(A0(s,t)TY(s)+A1(s,t)TZ(s,t)+(E)*[C0(s，t)TY(s)+C1(s，t)TZ(s，t)])ds-∫TtZ(t,s)dW(s).則(E)∫T0dt=E∫T0

52、)(t)>dt.接下來，我們由平均場(chǎng)BSVIEs開始，Y(t)=(Ψ)(t)+∫Tt((A)0(t,s)Y(s)+(c)0(t,s)Z(s,t)+(E)[(A)1(t,s)Y(s)+(G)(t,s)Z(s,t)])ds-∫TtZ(t,s)dW(s)，t∈[0,T](17).現(xiàn)在我們給出關(guān)于平均場(chǎng)BSVIEs的對(duì)偶原理。
　　 定理6.4.2.假如(Ψ)(·)∈L2FT（0，T;(R)n），(Y(·)，Z(·，·))是方程(17)

53、的M-解。而且X(·)∈L2(0，T;(R)n)滿足X(t)=(Ψ)(t)+∫t0((A)0(s,t)TX(s)+(E)*(A)1(s,t)TX(s)])ds+∫t0((E)[(C)0(s，t)T|Fs]X(s)+(E)*[(E)[(C)1(s，t)T|Fs]X(s)])dW(s).則(E)∫T0dt=(E)∫T0dt.
　　 由前面的對(duì)偶原理，我們有下面有趣的結(jié)論，即平均場(chǎng)S

54、VIEs的二次對(duì)偶方程仍為其本身，但是平均場(chǎng)BSVIEs的二次對(duì)偶方程卻不再是它自己.最后，我們考慮平均場(chǎng)SVIEs的最優(yōu)控制問題，X(t)=(Ψ)(t)+∫t0b(t,s,X(s),u(s),Γb(t,s,X(s),u(s)))ds(18)+∫t0σ(t,s,X(s),u(s),Γσ(t,s,X(s),u(s)))dW(s),t∈[0，T]，其中Γb(t,s，X(s)，u(s))=∫Ωθb(t，s，ω，ω'，X(s，ω)，u(s，ω)

55、，X(s，ω'),u(s，ω'))(P)（dω'）。指標(biāo)函數(shù)定義為，J(u(·))=(E)∫T0g(s,X(s),u(s),Γg(s,X(s),u(s)))ds,(19)這里Γg(s，X(s)，u(s))=∫Ωθg(s，ω，ω'，X(s，ω)，u(s，ω)，X(s，ω'),u(s，ω'))(P)（dω'）。我們的目的在于最小化上述指標(biāo)函數(shù)。
　　 定理6.5.1.假如b，σ，Γb，Γσ滿足一定的可側(cè)性，李普希茲條件，線性增長(zhǎng)條件

56、，及(X(·)，(u)(·))是此控制問題的最優(yōu)對(duì)。則對(duì)偶方程(20)Y(t)=-a0(t)-(E)*c0(t)+∫Tt(A0(s,t)TY(s)+A1(s，t)TZ(s,t)+(E)*[C0(s,t)TY(s)+C1(s,t)TZ(s，t)])dsdt-∫Z(t,s)dW(s).存在唯一的M-解(Y(·)，Z(·，·))∈M2[0，T]使得下面的變分不等式(21)成立，