正倒向系統(tǒng)相關(guān)的偏微分方程與隨機(jī)最優(yōu)控制問題.pdf

1、從Pardoux和Peng[58]的基礎(chǔ)性工作以來，倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)和正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDE)由于其良好的結(jié)構(gòu)和在隨機(jī)控制、偏微分方程、金融數(shù)學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注。本文將致力于對(duì)有限維和無窮維FBSDE，與正倒向系統(tǒng)相關(guān)的偏微分方程(PDE)、隨機(jī)最優(yōu)控制和隨機(jī)對(duì)策問題的研究。
　　 FBSDE可以給出一類擬線性拋物形PDE的概率解釋。在光滑系數(shù)假定下PDE存在經(jīng)典解，否則需要考慮其弱解。我們研究一類

2、推廣的擬線性拋物形PDE，證明在利普希茨連續(xù)和單調(diào)系數(shù)條件下這類PDE存在唯一的局部Soblev弱解，并且該解對(duì)應(yīng)著一個(gè)部分耦合的FBSDE的局部解。這個(gè)結(jié)果推廣了[6]的結(jié)果。與以前的相關(guān)文獻(xiàn)不同的是，該P(yáng)DE的系數(shù)b中含有變量u，對(duì)應(yīng)的FBSDE的系數(shù)b中含有變量y.倒向重隨機(jī)微分方程(BDSDE)可以給出一類擬線性拋物形隨機(jī)偏微分方程(SPDE)的概率解釋。在光滑系數(shù)條件下SPDE有經(jīng)典解，否則只可能有弱解。我們研究一類擬線性拋物

3、形SPDE，其中系數(shù)f關(guān)于變量y局部單調(diào)，關(guān)于變量z局部利普希茨連續(xù)。證明這類方程存在唯一的Soblev弱解，并且其對(duì)應(yīng)著一個(gè)BDSDE的解。該結(jié)果推廣了[10]的結(jié)果。這部分的兩個(gè)結(jié)果發(fā)展了擬線性拋物形PDE和SPDE的弱解理論。
　　 連續(xù)控制理論已經(jīng)在工程和金融等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，但因?yàn)橐粩嘞蛳到y(tǒng)施加控制而顯得不夠現(xiàn)實(shí)。有時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)需要瞬間改變，此時(shí)連續(xù)控制不再適用而脈沖控制就顯得必要且有效。我們將脈沖控制理論與隨機(jī)最

4、優(yōu)控制和隨機(jī)對(duì)策理論結(jié)合，考慮帶脈沖的隨機(jī)最優(yōu)控制和隨機(jī)對(duì)策問題。首先研究三類正倒向系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題，其中控制變量由連續(xù)控制變量和脈沖控制變量組成?？紤]最優(yōu)控制滿足的必要條件，即龐特里亞金最大值原理；并且探索充分最優(yōu)性條件。就我們所知，這是對(duì)帶脈沖控制正倒向系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題的首次研究。帶脈沖的確定性對(duì)策問題已經(jīng)被很多學(xué)者研究過，然而帶脈沖的隨機(jī)微分對(duì)策問題似乎尚沒有人研究。我們考慮一類帶脈沖的的隨機(jī)微分對(duì)策問題。用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原

5、理證明該對(duì)策問題存在最優(yōu)值，且通過一個(gè)驗(yàn)證定理給出了對(duì)策的一組最優(yōu)策略。
　　 以下是本文的結(jié)構(gòu)和主要結(jié)論。
　　 第一章：簡要介紹本文中所討論問題的背景及總體思路。
　　 第二章：證明[2]中提出的帶連續(xù)單調(diào)系數(shù)的FBSDE的解的唯一性與解關(guān)于參數(shù)的連續(xù)依賴性是等價(jià)的。定理2.1.2.假設(shè)條件2.1.1成立，則下面關(guān)于FBSDE(2.1)的解的兩個(gè)論斷是等價(jià)的。(i)唯一性：FBSDE(2.1)存在唯一解。(i

6、i)關(guān)于(x,ξ)的連續(xù)依賴性：對(duì)任意的｛xp}∞p=1，x∈R和｛ξq}∞a=1，ξ∈L2(Ω，gT，P；R)，如果當(dāng)p→∞時(shí)有xp→x，而當(dāng)q→∞時(shí)有E|ξq-ξ|2→0，則當(dāng)p,q→∞時(shí)，(公式略)其中，(公式略)是FBSDE(2.1)分別對(duì)應(yīng)于(x，ξ)與(XP,ξq)的任意解。
　　 第三章：考慮一類完全耦合的無窮維FBSDE.首先研究這類方程的解在Malliavin空間中的正則性。定理3.2.5.設(shè)條件3.1.1和3

7、.1.2成立。假設(shè)(公式略)并屬于D1,2(K)，則存在正數(shù)T0≤T*使得對(duì)任意的T≤T0，F(xiàn)BSDE(3.1)在區(qū)間[0,T]上的唯一溫和解(X,Y,Z)滿足下面的性質(zhì)：(公式略)(ii)存在(DX,DY,DZ)的一個(gè)版本使得對(duì)幾乎所有的s∈[0,T)，{DsXt,t∈(s,T]}是L2(三，H)中的連續(xù)可料過程，滿足(公式略)過程{(DsYt，DsZt)，t∈(s，T]}屬于空間(公式略)并且，對(duì)幾乎所有的s＜t，下面的線性正倒向系

8、統(tǒng)成立：(公式略)其中定義σ-(r)：=σ(r，Xr，Yr)，b(r)：=b(r，Xr，Yr，Zr)，f(r)：=f(r，Xr，Yr，Zr).
　　 通過研究解的Malliavin導(dǎo)數(shù)與Gateaux導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，我們得到定理3.3.2.解過程Z有兩個(gè)版本(公式略)：
　　 第四章：首先考慮一類推廣的擬線性拋物形PD E，其特點(diǎn)是系數(shù)b中包含解變量u.通過與一類部分耦合的FBSDE相聯(lián)系來研究這類PDE的Sobolev弱解

9、。定理4.1.6.假設(shè)條件4.1.1成立，則(i)PDE(4.2)存在局部Sobolev弱解u.并且對(duì)幾乎所有的s∈[t,T]，x∈Rd，a.s.(公式略)其中，(Xt,x，Yt,x，Zt,x)是FBSDE(4.1)的唯一局部解。(ii) PDE(4.2)在利普希茨連續(xù)函數(shù)類中至多存在一個(gè)Sobolev弱解。
　　 然后研究一類擬線性拋物形SPDE，其中系數(shù)f關(guān)于變量y局部單調(diào)，關(guān)于變量z局部利普希茨連續(xù)。通過與一類BDSDE系

10、統(tǒng)相聯(lián)系得到該SPDE的Sobolev弱解。定理4.2.19.假設(shè)條件4.2.18和(4.11)式成立，則SPDE(4.14)存在唯一的Sobolev弱解u.并且對(duì)幾乎所有的s∈[t,T]，x∈Rd，a.s.(公式略)其中，(Yt,x，Zt,x)是BDSDE(4.16)的唯一解。
　　 第五章：研究帶脈沖的隨機(jī)最優(yōu)控制和隨機(jī)微分對(duì)策問題。首先研究三類帶脈沖的正倒向系統(tǒng)的隨機(jī)最優(yōu)控制問題，得到必要最優(yōu)條件和充分最優(yōu)條件，也給出了對(duì)

11、這三類問題的比較。
　　 在第一個(gè)隨機(jī)最優(yōu)控制問題中，連續(xù)控制域和脈沖控制域均為凸集。通過凸變分容易得到如下的最大值原理：定理5.2.4.設(shè)(u，ξ)是隨機(jī)最優(yōu)控制問題(5.3)-(5.4)的最優(yōu)控制，(xu,ξ，yu，ξ，zu，ξ)是最優(yōu)的系統(tǒng)軌線，(pu,ξ，qu,ξ，ku,ξ)是伴隨方程的解。則有(公式略)其中，H：[0，T]×Rn×Rm×Rm×d×U×Rm×Rn×Rn×d→R是如下定義的哈密爾頓函數(shù)：(公式略)
　

12、　 由于假設(shè)系統(tǒng)參數(shù)關(guān)于變量v連續(xù)可微，下面的充分最優(yōu)性定理也容易得到。定理5.2.6.設(shè)條件5.2.1成立；假定φ，γ，(x，y，z，v)→H(t，x，y，z，v，p，q，k)與η→l(t，η)為凸函數(shù)；且存在A∈Rm×n與ζ∈L2(Ω，GT，P；Rm)使得yuTnη具有如下特殊形式:(公式略)用(Puξ，qu，ξ，kuξ)表示(u，ξ)∈d對(duì)應(yīng)的伴隨方程的解。如果(u，ξ)滿足(5.7)和(5.8)兩式，則它一定是隨機(jī)最優(yōu)控制問題

13、(5.3)-(5.4)的最優(yōu)控制。
　　 在第二個(gè)最優(yōu)控制問題中，假定脈沖控制域?yàn)橥辜B續(xù)控制域非凸，且擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)σ不含控制變量。對(duì)連續(xù)控制變量使用針狀變分，對(duì)脈沖控制變量使用凸變分可得如下最大值原理：定理5.3.7.設(shè)(u，ξ)是隨機(jī)最優(yōu)控制問題(5.13)-(5.14)的最優(yōu)控制，(公式略)是最優(yōu)的系統(tǒng)軌線，(公式略)是伴隨方程的解。則有(式略)其中，H：[0，T]×Rn×Rm×Rm×d×U×Rm×Rn×R尼nxd→R是如

14、下定義的哈密爾頓函數(shù)：(公式略)
　　 假定連續(xù)控制域U為凸集，借助Clarke廣義梯度的性質(zhì)可以得到如下的充分最優(yōu)性定理：定理5.3.9.設(shè)條件5.3.3和5.3.8成立；假定φ，γ，(x，y，z，v)→H(t，x，y，z，v，p，q，k)與η→l(t，η)為凸函數(shù)；且存在A∈Rm×n與ζ∈L3(Ω，gT，P；Rm)使得yTuη具有如下特殊形式：(公式略)用(puξ，qu,ξ,ku,ξ)表示(u,ξ)∈(d)對(duì)應(yīng)的伴隨方程的解

15、。如果(u，ξ)滿()和(5.20)兩式，則它一定是最優(yōu)控制問題(5.13)-(5.14)的最優(yōu)控制。
　　 在第三個(gè)最優(yōu)控制問題中，假定脈沖控制域?yàn)橥辜B續(xù)控制域非凸，并且擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)σ中含有連續(xù)控制變量v.這種情況下針狀變分不再適用，而松弛控制的方法可以在一定條件下解決這個(gè)問題。首先用松弛控制變量qt代替連續(xù)控制變量ut得到一個(gè)最優(yōu)松弛-脈沖控制問題?；谒沙诳刂凭哂械牧己眯再|(zhì)，這個(gè)新問題的必要最優(yōu)條件和充分最優(yōu)條件不難得到

16、。而在一定條件下，原最優(yōu)控制問題是此最優(yōu)松弛-脈沖控制問題的特殊情形；這樣便可很容易得到期望的結(jié)論。定理5.4.3.設(shè)條件5.4.1和5.4.2成立，則隨機(jī)最優(yōu)控制問題(5.24)-(5.25)的最優(yōu)控制(u，ξ)滿足(公式略)其中，H：[0，T]×Rn×Rm×Rm×d×U×Rm×Rn×Rn×d→R是如下定義的哈密爾頓函數(shù)：(公式略)定理5.4.4.設(shè)條件5.4.1和5.4.2成立；假設(shè)φ，γ，(x，y，z)→H(t，x，y，z，v，k

17、，P,Q)與η→l(t，η)為凸函數(shù)；且存在A∈Rm×n與ζ∈L2(Ω，(f)T，P；Rm)使得ytuη具有如下特殊形式：(公式略)設(shè)(ku,ξ，Pu,ξ，Qu，ξ)是(u，ξ)∈(d)對(duì)應(yīng)的伴隨方程的解。如果(u,ξ)滿足(5.26)和(5.27)兩式，則它一定是隨機(jī)最優(yōu)控制問題(5.24)-(5.25)的最優(yōu)控制。
　　 最后考慮一個(gè)帶脈沖的隨機(jī)對(duì)策問題。通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理證明該對(duì)策存在值。定理5.6.4.假設(shè)條件5.6.1和