一些關于無截斷假設的空間齊次Boltzmann方程解的正則性研究.pdf

1、Boltzmann方程解的正則性研究在數(shù)學物理學科中是一個即有趣而又特別重要的課題，近年來不斷吸引著大量的科研工作者。研究的目的在于揭示單原子氣體中微粒分布函數(shù)的光滑性質(zhì)。在這一領域中，人們發(fā)現(xiàn)，粒子之間通過彈性碰撞而產(chǎn)生的摩擦效應會導致許多的數(shù)學分析方面的困難。為了避免這些困難，Boltzmann方程早期的大部分研究工作都是基于Grad截斷假設的基礎上進行的。然而，有研究表明，在Grad截斷假設條件成立的情況下，在某些加權Lp空間中方

2、程的解最多只能保持著與初值相同的正則性質(zhì)。另一方面，有一個事實是眾所周知的，就是考慮客觀的情形，如果沒有附加Grad截斷這一假設條件，那么Boltzmann算子類似于一個分數(shù)形式的Laplace算子。因此在這個時候，人們有望通過運用各種數(shù)學工具和方法技巧，證明出Boltzmann方程解的光滑性效應。
　　 在研究無截斷Boltzmann方程解的Sobolev正則性方面，目前為止已經(jīng)有了不少先進的科研成果，使得這一課題在空間齊次的

3、情況下較為滿意地得到了證實。我們將會在本論文的第2章中介紹我們在這一方面所做的工作，即考慮一個帶有Debye-Yukawa位勢且非Maxwellian類的模型，我們證明了齊次Boltzmann方程的弱解如果對于速度變量是Lipschitz連續(xù)的，那么這一弱解將屬于Sobolev空間H+∞loc(R3)。
　　 更進一步，為了得到更高的正則性，第3章將致力于研究逆冪律位勢下空間齊次Boltzmann方程解的Gevrey類光滑性質(zhì)。

4、在第3章的第一節(jié)中，我們針對這一問題作一個簡單的介紹，并列舉出近年來Boltzmann以及其他相關方程在這方面的一些成果。緊接著，在第二節(jié)中我們考慮了相應的非Maxwellian類情況下的線性化Cauchy問題。值得一提的是，Maxwellian類的情況已經(jīng)在文章[25]中得到了解決。在這里我們將使用另外一種新的方法來得到解在局部空間中的Gevrey正則性，并且不要求任何關于初值的Gevrey正則性假設。與[25]中的方法相比，這一方法

5、最大的特點是基于數(shù)學歸納，不僅僅要利用到抽象的擬微分算子，還有許多其他前沿的數(shù)學分析技巧，比如Cauchy積分定理等等。更重要的在于它能解決更復雜的諸如非Maxwellian類的情況，這是[25]中的方法所不能解決的。在第三節(jié)中我們同樣利用這一方法，進一步在Maxwellian類和非Maxwellian類這兩種情況下，討論相應的非線性Cauchy問題。加上一些合理的假設條件，我們同樣成功地得到了關于解的Gevrey正則性的肯定的答案。<