關于無窮維友矩陣若干問題的研究.pdf

1、矩陣理論是二十世紀隨著工程科學進步而發(fā)展起來的一種數(shù)學方法，計算機的發(fā)明更加推動了計算數(shù)學的應用。如今，矩陣理論作為數(shù)學研究的一個基本工具被廣泛應用。作為工程計算的產(chǎn)物，矩陣計算出現(xiàn)在很多領域。例如：矩陣的奇異值和譜理論出現(xiàn)在對物質光譜的分析；矩陣的擾動理論對大規(guī)模數(shù)據(jù)的誤差分析。一般矩陣固有性質的研究對我們有深刻的指導意義，然而，特殊矩陣的研究也有著同等重要的地位。不僅如此，可以說這些特殊的矩陣是我們整個矩陣群的非常值得研究的那些元素

2、，就像0和1之對應于自然數(shù)那樣。 本文主要是對友矩陣以及無窮維友矩陣這類特殊矩陣的一些討論。我們陳列友矩陣的一些定理，其中特別提到了Vandermonde矩陣和Barnett公式。這樣做有兩個目的：一方面，這些定理本身就有很重要的應用，我們特別從友矩陣對應的多項式的因式分解的角度說明了這些矩陣之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種思想是全新的，從另一個角度證明了Barnett公式，我們說這個公式只是分析基礎上的特例化；另一方面，我們統(tǒng)一了研究矩陣

3、的一個基礎出發(fā)點，從這些理論的推導，我們想更多的看到無窮維的情形。關于無窮維友矩陣，Vlastimil Ptak作了深入的研究，引入了單向無窮維友矩陣的概念，并且做了幾乎完美的工作。也正是他的工作激發(fā)了我的興趣。 本文分為四個部分： 第一部分主要說明背景知識。 第二部分介紹一般意義的友矩陣及其重要性質。友矩陣的研究是伴隨著一個特征多項式展開的，已知一個矩陣A，它的特征多項式所對應的友矩陣與A有著相同的特征值。有限

4、維友矩陣的這個性質使它和(特征)多項式有著密切的聯(lián)系，說明了(特征)根和系數(shù)的關系，這種關系進一步應用到其它矩陣與多項式的關系，結合友矩陣我們得到一些特殊矩陣之間纏繞關系的本質。 第三部分將推廣V.Ptak的一些工作，一個多項式p(z)的無窮維友矩陣的概念以及一些性質被系統(tǒng)敘述。VPtak發(fā)現(xiàn)如果w(z)=z<'n>，那么次數(shù)為n的一對多項式(p(z)，w(z))對應的無窮維友矩陣是一個特殊的情況，它關系到Bezoutians、