關于交換環(huán)上矩陣的若干問題.pdf

1、1848年，為了給研究行列式提供一個適當?shù)拇鷶?shù)語言，J.J.Sylvester首先引入了“矩陣”這個概念.1855年，為了研究兩個線性變換的復合變換的表達式，A.Cayley給出了矩陣乘法的定義，從而開創(chuàng)了矩陣代數(shù)這個研究領域.二十世紀以后，人們把矩陣視為線性變換一般理論的有限維情形，對矩陣進行了更加深入的研究，并將研究引入到環(huán)上的矩陣之中.現(xiàn)在，矩陣在各個學術領域和重要的應用課題中已經(jīng)起著不可替代的作用，許多數(shù)學家從事著對這一領域的研

2、究.
　　設R是含有單位元的交換環(huán)，記Mm×n(R)為R上所有m×n矩陣的全體構成的集合，A∈Mm×n(R)，以A的一切k階子式為元素，按字典序排列構成的矩陣Ck(A)為A的k階復合矩陣.而以A子式的代數(shù)余子式為元素的Ckn階矩陣C*k(A)為A的k階復合伴隨矩陣.伴隨矩陣是復合伴隨矩陣的特例，因此復合伴隨矩陣是伴隨矩陣理論的深入發(fā)展.
　　作為準備工作，本文首先研究了交換環(huán)上矩陣的性質，交換環(huán)上矩陣的秩，交換環(huán)上矩陣的特征

3、值.然后在含有單位元的交換環(huán)上研究了復合矩陣和復合伴隨矩陣，證明了對合(冪等、冪單、冪零)陣的復合矩陣和復合伴隨矩陣都是對合(冪等、冪單、冪零)陣，同時證明了復合映射Ck是從乘法幺半群Mn×n(R)到乘法幺半群Ms×s(R)的同態(tài)映射，復合伴隨映射C*k是從乘法幺半群*Mn×n(R)到乘法幺半群Ms×s(R)的反同態(tài)映射，而且得出復合矩陣和復合伴隨矩陣的秩.
　　假設F是特征為2的域，F(xiàn)中至多含有n(其中n≥2)個元素，本文證明了