關(guān)于交換環(huán)上矩陣的若干問題.pdf

1、1848年，為了給研究行列式提供一個(gè)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)語言，J.J.Sylvester首先引入了“矩陣”這個(gè)概念.1855年，為了研究?jī)蓚€(gè)線性變換的復(fù)合變換的表達(dá)式，A.Cayley給出了矩陣乘法的定義，從而開創(chuàng)了矩陣代數(shù)這個(gè)研究領(lǐng)域.二十世紀(jì)以后，人們把矩陣視為線性變換一般理論的有限維情形，對(duì)矩陣進(jìn)行了更加深入的研究，并將研究引入到環(huán)上的矩陣之中.現(xiàn)在，矩陣在各個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域和重要的應(yīng)用課題中已經(jīng)起著不可替代的作用，許多數(shù)學(xué)家從事著對(duì)這一領(lǐng)域的研

2、究.
　　設(shè)R是含有單位元的交換環(huán)，記Mm×n(R)為R上所有m×n矩陣的全體構(gòu)成的集合，A∈Mm×n(R)，以A的一切k階子式為元素，按字典序排列構(gòu)成的矩陣Ck(A)為A的k階復(fù)合矩陣.而以A子式的代數(shù)余子式為元素的Ckn階矩陣C*k(A)為A的k階復(fù)合伴隨矩陣.伴隨矩陣是復(fù)合伴隨矩陣的特例，因此復(fù)合伴隨矩陣是伴隨矩陣?yán)碚摰纳钊氚l(fā)展.
　　作為準(zhǔn)備工作，本文首先研究了交換環(huán)上矩陣的性質(zhì)，交換環(huán)上矩陣的秩，交換環(huán)上矩陣的特征

3、值.然后在含有單位元的交換環(huán)上研究了復(fù)合矩陣和復(fù)合伴隨矩陣，證明了對(duì)合(冪等、冪單、冪零)陣的復(fù)合矩陣和復(fù)合伴隨矩陣都是對(duì)合(冪等、冪單、冪零)陣，同時(shí)證明了復(fù)合映射Ck是從乘法幺半群Mn×n(R)到乘法幺半群Ms×s(R)的同態(tài)映射，復(fù)合伴隨映射C*k是從乘法幺半群*Mn×n(R)到乘法幺半群Ms×s(R)的反同態(tài)映射，而且得出復(fù)合矩陣和復(fù)合伴隨矩陣的秩.
　　假設(shè)F是特征為2的域，F(xiàn)中至多含有n(其中n≥2)個(gè)元素，本文證明了