對流擴散方程最優(yōu)控制問題的特征有限元方法.pdf

1、偏微分方程最優(yōu)控制（設(shè)計）問題的研究是數(shù)學(xué)科學(xué)中一個充滿活力和生命力的領(lǐng)域，在過去的30年間得到了廣泛的研究和應(yīng)用.作為數(shù)學(xué)尤其是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個分支，它涵蓋了許多領(lǐng)域，比如時間控制，反應(yīng)回饋控制，流體控制，最優(yōu)形狀設(shè)計（包括材料設(shè)計，晶體增長及化學(xué)反應(yīng)等），多尺度問題最優(yōu)控制及參數(shù)估計等，相關(guān)文獻(xiàn)可見[55，71，72，80，81]等.最近五年以下幾個方面得到了大家的廣泛關(guān)注： ★數(shù)值離散； ★大型優(yōu)化問題的快速求解；

2、 ★自適應(yīng)有限元方法； ★三維時變問題的有效算法； ★多尺度系統(tǒng)控制等. 一般而言，我們所關(guān)心的最優(yōu)控制問題大多數(shù)都可以表示成如下符號形式：（0CP） 其中J為目標(biāo)泛函； y稱為狀態(tài)變量，并且屬于狀態(tài)空間V； u是控制變量，并且屬于控制空間U； Uad稱為控制（設(shè)計）相容集； A為空間V×Uad上的某一特定算子. 通常狀態(tài)方程A（y；u）=0可以表示某一

3、偏微分方程，或變分不等式，甚至結(jié)合了狀態(tài)受限，更詳細(xì)的說明將在下文給出.最優(yōu)控制的基本思想就是通過"控制"變量來控制狀態(tài)，從而由狀態(tài)方程最終來確定狀態(tài).而事實上這些狀態(tài)變量（例如某一系統(tǒng)的溫度或者位置等）通常都難以直接去控制.有時我們也稱控制變量為設(shè)計變量，控制空間為設(shè)計空間，稱狀態(tài)變量為系統(tǒng)變量. 最優(yōu)控制（設(shè)計）在實際工程應(yīng)用方面起到了非常重要的作用，而有效的數(shù)值方法對于最優(yōu)控制的成功運用也是至關(guān)重要的。當(dāng)前，在最優(yōu)控制問題

4、的計算方面有限元方法似乎是應(yīng)用最廣泛的數(shù)值方法，大量的研究文獻(xiàn)讀者可以參考[4.9，31，35，48，52.60，61，62，63，65，70，71]及其相關(guān)引文.在這些文獻(xiàn)中作者們集中討論了大量橢圓與時變方程最優(yōu)控制問題的先驗、后驗誤差估計及其收斂性分析.但是對于最優(yōu)控制問題的研究這僅僅是鳳毛麟角，很難用一兩句話概括的清.關(guān)于偏微分方程有限元方法與最優(yōu)控制問題的系統(tǒng)介紹，相關(guān)文獻(xiàn)可見[24，55，72，81]等. 有限元方法在

5、偏微分方程最優(yōu)控制問題中的應(yīng)用已有廣泛和深入的研究.例如在文獻(xiàn)[35，39，52]中討論了線性橢圓方程的情況，在[5]中討論了半線性橢圓方程的情況，在[60，64]中討論了非線性橢圓方程的情況，在[57，62]中討論了斯托克斯方程的情況，在[4，53，63，69，70]中則討論了線性拋物方程的情況以及其他一些方程見[11，25，87，89]等.但是，據(jù)我們所知在時變對流擴散方程最優(yōu)控制問題方面，我們是首先發(fā)表文章的人，詳情見文獻(xiàn)[32]

6、或第一章中部分內(nèi)容.讓我們回憶時變對流擴散方程作為一種數(shù)學(xué)模型的廣泛應(yīng)用，它可以用來模擬油藏的運移，環(huán)境的變化，地下水污染運移，熱量的傳播，移動流體的溶解過程及其它一些應(yīng)用見[8，29]等.而在許多的實際應(yīng)用中我們知道Peclet數(shù)是很大的，因此這類問題就表現(xiàn)出非常強的對流占優(yōu)的特性.其解會有很尖銳的移動前沿及復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，從而給數(shù)值計算和數(shù)學(xué)本身都帶來很大的困難.正如大家所熟知的那樣，對于對流占優(yōu)的這類對流擴散方程，古典的有限差分方法或

7、有限元離散會產(chǎn)生過多的并且讓人難以接受的非物理震蕩，這是因為邊界層很難處理；而古典的迎風(fēng)方法則會產(chǎn)生過多的數(shù)值彌散，從而磨平了尖銳的移動前沿.此外，這種方法得到的數(shù)值解還會嚴(yán)重的依賴于所選取的差分網(wǎng)格.為了減少以上所提到的這些現(xiàn)象，人們提出并分析了許多新的技巧，比如流線擴散有限元方法[44]，殘量自由泡函數(shù)方法[16]，間斷Galerkin有限元方法[49]，邊穩(wěn)定化Galerkin方法[17]，以及專門處理時變問題的特征線方法（像：M

8、MOC方法[27，30]，MMOCAA方法[26]，ELLAM方法[21，83]，CMFEM方法[6]）等. 盡管上面所提到的這些技巧都適用于對流占優(yōu)的對流擴散方程，但是將它們直接應(yīng)用到最優(yōu)控制問題上在許多情況下卻并不是那么容易.據(jù)我們所知，到現(xiàn)在為止在穩(wěn)態(tài)對流擴散方程最優(yōu)控制方面也僅有幾篇文章發(fā)表，最早在文獻(xiàn)[25]中作者討論了將SUPG方法應(yīng)用到最優(yōu)控制問題中；文獻(xiàn)[11]采用了局部投影穩(wěn)定化有限元方法，即所謂的LPS方法；

9、最近，在文獻(xiàn)[87]中作者則考慮了邊穩(wěn)定化方法.在拋物方程最優(yōu)控制問題方面發(fā)表的文獻(xiàn)也不多見，主要有[53，63，69，70]等幾篇文獻(xiàn).在非穩(wěn)態(tài)對流擴散方程最優(yōu)控制問題方面，除了我們的文章之外甚至沒有見到任何其它文章發(fā)表.眾所周知特征線方法具有很好的穩(wěn)定性，而且從物理的角度來看特征線算法更加的自然，因為它很好的模擬了物質(zhì)的運動過程.此外，從數(shù)學(xué)的角度來看特征線算法也是非常有魅力的，因為它使得我們研究的問題對稱化了.正是基于此，博士期間

10、我的主要工作也集中在討論用特征有限元方法來逼近瞬態(tài)對流擴散方程最優(yōu)控制問題上.我們主要討論了兩類對流擴散方程，第一類我們考慮了速度場不可壓縮的情況，并給出了先驗及后驗誤差估計.這部分工作將在第一章和第二章中闡述.接著第二類情況我們考慮散度型對流擴散方程并且假定速度場是可壓縮的，給出了先驗誤差分析.這部分結(jié)果將在第三章中給出. 從已有的研究成果來看，在諸多類型的有限元方法的計算中，自適應(yīng)有限元因其高效性已成為當(dāng)前科學(xué)和工程計算領(lǐng)域

11、內(nèi)一個重要課題.為了得到高精度的數(shù)值解，自適應(yīng)方法的本質(zhì)正是在于通過后驗誤差估計得到的指示子作為加密的標(biāo)準(zhǔn)來實現(xiàn)網(wǎng)格的局部加密.它的實現(xiàn)機理就是在指示子大的地方進(jìn)行網(wǎng)格加密，也即在函數(shù)正則性較差或解結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的地方網(wǎng)格點分布較密.所以，自適應(yīng)有限元方法的有效性和可靠性就嚴(yán)重依賴于所采用的指示子.關(guān)于指示子有很多種，譬如殘量類型，分層類型，基于局部平均就是所謂的目標(biāo)定向?qū)ε技訖?quán)方法的類型，泛函型誤差控制子等等，具體可見參考文獻(xiàn)[4，7，

12、82]等.從眾多相關(guān)文獻(xiàn)中可以看出偏微分方程初值問題和初邊值問題的自適應(yīng)計算已經(jīng)有了相當(dāng)成熟的理論及其應(yīng)用.但是方程的最優(yōu)控制問題方面，自適應(yīng)算法的計算還處于初級階段，僅有部分類型的控制問題有相關(guān)結(jié)論。例如，對于控制不受限的問題目標(biāo)定向加權(quán)對偶方法在文獻(xiàn)[9]中給出了分析；控制受限下的控制問題其殘量類型的后驗誤差估計可見文獻(xiàn)[41，60，61，70]等.一般來說，對于受約束的控制問題而言，控制變量和狀態(tài)變量具有不同的正則性，通常是控制變

13、量的正則性較差（最多屬于空間H1（Ω））此外，它們各自奇異性的位置也有所不同.因此傳統(tǒng)的在同一套網(wǎng)格下進(jìn)行計算的效率較低.從而，自適應(yīng)多套網(wǎng)格即對不同的變量根據(jù)其相應(yīng)的指示子來調(diào)整各自的網(wǎng)格，變得非常有必要.同時這也使得多套網(wǎng)格下最優(yōu)控制問題的自適應(yīng)計算可以更有效的進(jìn)行.關(guān)于此方法和思想的應(yīng)用可見文獻(xiàn)[48.51]等.但是，對于發(fā)展方程最優(yōu)控制問題而言其自適應(yīng)數(shù)值計算要復(fù)雜得多，相關(guān)內(nèi)容可見[53，63]等. 在導(dǎo)師芮洪興教授的

14、精心指導(dǎo)下，本文作者對發(fā)展型對流擴散方程最優(yōu)控制問題做了部分研究工作.基于劉文斌教授等人在拋物方程最優(yōu)控制問題方面的工作，結(jié)合所熟知的特征有限元方法，我們討論了兩類不同類型的時變對流擴散方程最優(yōu)控制問題.從理論上分析了算法的收斂性，并得到了先驗和后驗誤差估計.理論分析和數(shù)值試驗都表明我們在本文中所提的算法是有效的、可靠的。全文共分三章，下面幾段將簡要介紹一下各章的主要內(nèi)容. 第一章，對線性對流占優(yōu)對流擴散方程的二次最優(yōu)控制問題提

15、出了一類特征有限元逼近格式.其中在第一部分我們著重討論了控制變量單邊受限的情形，這里狀態(tài)和伴隨狀態(tài)變量考慮用分片線性連續(xù)函數(shù)來離散，而控制變量則由分片常數(shù)來逼近.得到了控制和狀態(tài)逼近的最優(yōu)模誤差估計即（）（hU+h+k，其中hU和h分別代表控制和狀態(tài)變量的空間網(wǎng)格尺寸，k表示時間步長.這一部分的主要結(jié)果發(fā)表在《Journal of Scientific computing》（見[32]）在本章的后半部分，我們則考慮了控制變量雙邊受限的情

16、況并且推廣到用分片線性間斷元或分片常數(shù)元來逼近它.同樣我們得到了控制和狀態(tài)逼近的先驗估計即（）（），其中m=0或1.這一部分的主要結(jié)果已經(jīng)投遞刊物（見[33]）本章的最后我們給出了數(shù)值算例，對兩種情形的收斂性給出了有效驗證. 第二章，我們把主要精力放在了研究對流擴散方程最優(yōu)控制問題的后驗誤差估計方面，這對于設(shè)計有效的自適應(yīng)特征有限元算法意義深遠(yuǎn).通過采用對偶估計的技巧，我們得到了最優(yōu)控制問題的L2模后驗誤差估計子.這里需要指出的

17、是，此后驗估計子有兩大主要部分構(gòu)成：一部分即η1來源于對變分不等式（2.3.9）的逼近，另外一部分ηi，i=2，…，13是由對狀態(tài)和伴隨狀態(tài)方程的逼近得來的。特別地，η6和η11是我們的特征有限元格式本身所產(chǎn)生的。很明顯單獨用狀態(tài)或控制逼近誤差本身都不足以有效地求解整個控制問題，在第二章中對后驗誤差估計子我們會給出詳細(xì)闡述. 第三章，對奇異擾動的時變對流擴散方程最優(yōu)控制問題，我們提出了另一類特征有限元（CFE）算法來處理速度場非