非線性最優(yōu)控制問題混合有限元方法.pdf

1、最優(yōu)控制問題在很多領域中具有廣泛的應用,因此研究最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解具有十分重要的理論意義和實際價值,由于大量最優(yōu)控制問題計算規(guī)模巨大,對求解速度要求很高,因此提高最優(yōu)控制問題的計算效率是急需解決的重要問題,在現(xiàn)有的很多文獻中,主要采用的是標準有限元來研究這些最優(yōu)控制問題,然而對于某些特定的問題，混合有限元有著不可替代的優(yōu)勢，本文中，將研究幾類非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解的先驗和后驗誤差估計。
　　本文可分為兩部分.第一部分,

2、研究了非線性橢圓最優(yōu)控制問題,首先利用變分原理得到非線性橢圓最優(yōu)控制問題的最優(yōu)性條件,即將一個求解泛函極小的問題轉化成狀態(tài)方程、伴隨狀態(tài)方程和一個變分不等式三者的聯(lián)立系統(tǒng);利用最低階Raviart-Thomas混合有限元逼近狀態(tài)變量、分片常數(shù)函數(shù)逼近控制變量,建立了非線性最優(yōu)控制問題的混合有限元離散格式.采用F.A.Miliner和E. J.Park等人提出的線性化方法(Taylor展開的積分形式)處理誤差方程的非線性項,并利用橢圓方程

3、混合有限元解的先驗誤差估計結果,得到了非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解的L2先驗誤差估計,進一步,通過引入一種加權的L2范數(shù)和對偶論證方法,獲得了非線性最優(yōu)控制問題混合有限元解最大模范數(shù)的誤差估計.接著,基于Helmoholtz分解和Bubble函數(shù)等思想,并結合一些非線性誤差方程線性化的技巧和一些輔助非線性方程的先驗誤差估計,得到了非線性橢圓最優(yōu)控制問題混合有限元解的后驗誤差估計。最后,給出一些數(shù)值算例來驗證得到的理論結果,
　　

4、第二部分,研究了非線性拋物最優(yōu)控制問題,對于拋物方程的混合有限元逼近解的誤差估計,Sonia M.F.Garcia等人已經(jīng)進行了一些研究,但很少有文獻研究拋物最優(yōu)控制問題,尤其是非線性問題.首先,引入一種橢圓混合元投影算子和一些相應的先驗誤差估計,構造一些中間變量和相應的誤差方程,并結合L2投影算子和幾種其它投影算子的性質,得到非線性拋物最優(yōu)控制問題混合有限元解的先驗誤差估計,接著,利用一些輔助拋物問題的穩(wěn)定性結論,結合Gronwall